楕円積分

質問

∫１/√（１－ｘ＾４）ｄｘは楕円積分とよばれているらしいのですがどうやってとけばいいんでしょうか？ちょっとした説明ぐらいしかなく答えまで出ているものがないように思います。∫１/√( (1 － x^2) (1 － k^2x^2) ) ｄｘに変形していけばなるらしいのですがその方法もかいてありませんでしたそしてそれからどうとけばいいのかも・・・どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

まず，「積分をとく」という表現はふつうしません．
積分を計算するとか，求めるとか，そういう表現をします．
方程式なら「とく」ですけれど．

さて，ご質問の楕円積分(詳しく言うなら，第１種楕円積分)は
初等関数の組み合わせでは表現できません．
もし satooo さんが「積分をとく」を初等関数の組み合わせで表す
という意味で使われているなら，それは不可能です．

(1)　　∫{1/√(1-x^4)} dx
を
(2)　　∫{1/√[(1-x^2)(1-k^2 x^2)]} dx
の形に変換したいのであれば，
(3)　　y^2 = 1-x^2
とおけば簡単にできますので，お試し下さい．
k は楕円積分の母数と呼ばれるパラメーターで，(1)を(2)の形に変換すれば
(4)　　k^2 = 1/2
になります．

お礼

なるほど解析的には無理なんですね。ありがとうございました。