Wikipedia楕円積分・楕円関数の出典

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/楕円関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/楕円積分

現在楕円関数、楕円積分で母数kをk↑1としたときの挙動について興味があるため色々調べています。

Wikipediaの楕円関数の項目に、『極限を考えてk = 0とすると三角関数、k = 1とすると双曲線関数が現れる。』という記述がありこれが考えていることに一番近く詳しい証明を知りたいのですが、色々楕円関数関係の本を調べてもあまり記述が出てこないので不思議です。

これの出典をご存知の方がいらっしゃったら教えていただけると助かります。また出典はご存じなくても、具体的な証明などをご存知の方がいらっしゃったらお願いします。

回答No.1

cyototu

楕円関数は変数zに関して複素平面上の２周期関数として定義されています。ヤコビの楕円関数ではその周期はkの関数になっています。そして、kを実軸上で上から０に近づけると、その二つのうちの一つの周期が大きくなり、k＝０でそれが無限大になります。また、もう一方の周期はzの実軸上で有限に留まります。したがって、ヤコビの楕円関数はこの極限で１周期関数になり、三角関数で表されるわけです。

一方、kを実軸上で下から１に近づけると、やはり１周期関数になりますが、今度はzの虚軸上での周期関数になります。したがって、双曲線関数になるわけです。

因に、パラメーターkを複素平面に解析接続した時のやヤコビの楕円関数の性質は、教科書には余り書いていないようですが、この関数はk=1のところで対数特異性を持っております。この特異性は、非線形動力学で剛体振り子の往復運動と回転運動の境目のところに現れてくるので、振り子に外場が加わった場合に、その境目のところで滅茶苦茶に複雑な運動が現れる数学的な根拠の一つになっています。