マクローリン展開 項別積分

質問

f(x)=1/1+x　のマクローリン級数を用いて
g(x)=log(1+x)のマクローリン級数を求める問題で
項別積分によりｇ(x)を
g(x)=∫f(x)dt
積分範囲は0からx
で求めています。

答えはわかったので、
項別積分とはどのようなものですか？
マクローリン級数の時にしか応用例はないですか？
教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

項数が有限なら、「項ごとに積分」は
積分の線型性そのものだが…

級数を項別に積分して構わないのは、
級数の収束が積分変数について一様な場合だけ。
そうでないと、級数の収束と、積分の収束との
極限操作の順序変更から、変なことが起こる。
参考→ http://homepage3.nifty.com/stco/math/biseki/kobetu_sekibun.pdf

その点、ベキ級数なら、収束半径の内部では
広義絶対一様収束だから、マクローリン級数を
項別積分するのは、比較的安全。
別に、マクローリン級数でなくても、積分範囲で
一様収束する級数ならよいのだけれど。

お礼

丁寧にありがとうございました

回答No.2

hugen

項別積分とは
∫(1+x+x^2+・・・) = ∫1+∫x+∫x^2+・・・

回答No.1

Tacosan

「項別積分」を分解すれば「項ごとに積分」だ. そういう意味では
x+1 を積分すると x^2/2+x
も「項別積分」と言えなくもない. あまりにも当たり前なので普通はそういわんけど.