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線形代数
問題は(１)～(５)まであるのですが(４)だけが分かりません。 お願いします。 ｘ,Ｒ,Ｖ,v はベクトルです。 ベクトル v1 v2 v3 について Ｖ＝｛ｘ＝Ｒ^3 ｌ ｘ＝ αv1 ＋ βv2 ＋ γv3 、α,β,γ∈Ｒ｝ 「v1,v2,v3 が一次独立であることは(２)で証明済み」 (４)Ｖ＝Ｒ^3 を示せ。 ［１］Ｖ⊆Ｒ^3 ［２］Ｖ⊇Ｒ^3 の２つを証明すればいいことまでは分かりました。 ［１］は問題文 Ｖ＝｛ｘ＝Ｒ^3 ｝より成り立つ ［２］の証明が分かりません。 よろしくお願いします。
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とりあえず、質問文の間違いは、 R と V はベクトルじゃないことと、 V の定義は =｛ x∈R~3｜ … じゃないとマズイこと なんだけど、そこが要点でもなかろう。 証明のポイントは、R~3 の定義をどう処理するか にあると思われ。 ベクトル空間は、基礎体と次元が決まれば定まる から、R~3 と書けば十分…という所まで 了解が進んでいるとすれば、証明は、 「一次独立なベクトル3個だから。」で終わり。 そんなウッチャリが許されないなら、 v1,v2,v3 を R~3 の標準基底の上に成分表示して、 成分のなす 3×3行列が正則になることを v1,v2,v3 の一次独立によって示す ことになるだろう。
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- koko_u_u
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とりあえず、質問文をもう一度読み直して、間違いを直して補足にどうぞ。
お礼
すいません。 問題文の間違いですよね？ それとも、私の考え方ですか？ とりあえず、 問題文なら Ｖ＝｛ｘ∈Ｒ^3 ｌ ｘ＝ αv1 ＋ βv2 ＋ γv3 、α,β,γ∈Ｒ｝ (Ｒは実数) ですよね？ v1,v2,v3の行列は省いています。 考え方なら ［１］［２］が成り立つ つまり、「ＶとＲ^3が互いに部分集合」ならば 「Ｖ＝Ｒ^3」 これは間違いですか？
補足
Ｖ＝｛ｘ∋Ｒ^3 ｌ ｘ＝ αv1 ＋ βv2 ＋ γv3 、α,β,γ∈Ｒ｝
お礼
集合記号が違いますし、Ｖ,Ｒは集合でしたね・・・ 集合記号を出すのに手間取っていたら写し間違えました。 指摘ありがとうございます。 簡潔な答えですね。 どちらがいいのかはもう一度問題を見直して考えます。 回答ありがとうございます。 「koko_u_u」さんもおそらく回答をくれそうなので その後に締め切ってポイント付けさせてもらいます。