大学１年レベルの線形代数の質問です

質問

『v_1,v_2∈Ｒ^n　がすべてのv∈Vに対して、(v_1,v)＝(v_2,v) ならばv_1＝v_2
を示せ』

という問題に関してなのです。この問題文には、Vが何なのか書いてなかったのですが、私はV⊂R^nとして考えました。しかし、解いててこれには反例があるんじゃないかな？と思いました。

v_1、v_2がVの直交補空間の元なら、v_1＝v_2でないときがあると思いました。

具体的には
n＝４　Vは(1 0 1 1)(1 -1 1 0)を基底とするR^4の部分空間
v_1＝t^(1 0 1 1) v_2＝t^(0 1 1 -1)の場合です。（t^ は転置の意味です）

でも問題に間違いがあることってあるのかな？と思い、なにか勘違いしているかもしれません。どなたかこの反例または問題について回答よろしくお願いします。

※反例でのv_1 v_2は一応Vの直交補空間の基底を計算して、そのままその基底を用いました。あと（v_1,v）は内積の意味です。

回答No.3

gef00675 · ベストアンサー

R^n=Vだとすれば、
「すべてのv∈Vに対して、(v_1,v)＝(v_2,v) ならばv_1＝v_2」
は、極めて基本的な事実なので、おそらくこれをさせたいのでしょう。
ですが、ミスプリを承知で反例を突きつけるというのも面白いので悪乗りして。。。

w=v1-v2とおいてしまえば、
「すべてのv∈Vに対して、(w,v)＝0ならば w＝0」
と言い換えられます。この証明は極めて簡単で、v=wとすれば自明。

V⊃R^nの場合も、事情は同じなので、やはり成り立つ。

問題は、V⊂R^nの場合で、w∈R^nであるがw∈Vでないwがもし一個でもあればw=x+y、(x∈V, y∈Vの直交補空間)のような分解が可能で、y≠0。直交補空間の定義から(y,v)=0だから、
(w,v)=(x,v)+(y,v)=(x,v)
このとき、すべてのv∈Vに対して(w,v)=(x,v)=0だったとしても、x=0がいえるだけで、y=0とはいえない。つまり、w≠0で、反例が示せた。

基本的にはあなたの考えであっているので、あとはきちんと文章にすればいいだけだと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
最後の反例はとても興味深いものでした。
x=0がいえるのは、ｘがＶの元だと仮定しているのに、内積ゼロから、ｘはＶの直行補空間の元でもあり、結局、ｘは零元である・・・ということですよね？たぶん・・（汗

ちなみに、この宿題は、ミスプリ承知で、反例を書いて、教授に提出してしまいました（笑

本当に助かりました。ありがとうございます！

回答No.2

arrysthmia

V≠Ｒ^n では成り立たない　と一瞬思いましたが、
V⊃Ｒ^n でも成り立ちますね。

まあ、
『v_1,v_2∈V がすべての v∈V に対して、(v_1,v)＝(v_2,v) ならばv_1＝v_2』のミスプリ
という線が濃厚ですが…

w＝v_1－v_2 と置くと、話の見通しがよくなりますよ。

お礼

回答ありがとうございました。
参考になり、とてもたすかりました！

回答No.1

gef00675

V⊂R^nで、R^nに対するVの直交補空間の次元が１より大きいなら、あなたの考えで正しいです。
Vが何なのか書いてないのは困りますね。もしかして、問題文より前の文脈でVが定義されてませんか。

補足

返事が遅れてしまって申し訳ありません。
回答ありがとうございます。

Ｖについてなんですが、残念ながらこれが第１問目になってるんです。
それで2問目も見てみたのですが、

『Ａ,Ｂをｍ×ｎ行列とし、(Av,w)＝(Bv,w)がすべてのv∈R^n,w∈R^mについて成立するならＡ＝Ｂを示せ』という問題で、とくにVに関しては書かれてませんでした。

１問目と２問目が似ているので、もし同じような感じで解答が出来上がるなら、１が解けないとなにか気持ち悪いなぁと感じます（泣

あと少し考えたのですが、直交補空間の次元が１のとき、基底が１つだけだから、v_1としてその基底をとり、v_2としてはv_1の実数倍とすればやはり反例となりませんか？

頭が混乱してきました＞＜