素数の分類に関して

質問

現在素数の分類に関して勉強しているのですが、8n+1型、8n＋３型8n+５型、8n+７型の素数が無限に存在するということはどのようにして証明できるのでしょうか。１つの型の証明方法でもいいので示して頂けると幸いです。お願いします。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

8n+5型の素数

共通因数を持たない2つの平方数の和
m=(3^2)・(5^2)・(7^2)・・・(p^2)+2^2
を考える。

奇数2k+1の平方(2k+1)^2=4k(k+1)+1
であるから、それは8n+1の形をしている。
従ってmは8n+5の形をしている。

mが素数ならば、それは8n+5の形でpよりも大きい素数である。
mが合成数ならば、その素因数の中に8n+5の形のものが少なくとも1つある。
(8k1+1)(8k2+1)=8(8k1・k2+k1+k2)+1
であるから、もしmの素因数がみな8n+1の形であったとするとmは8n+5の形ではあり得ない。そこでqをmの素因数で8n+5の形のものとする。
qはpと互いに素でなければならないからq>pである。
故に8n+5の形の素数は無限にある。

------------------
以下の事実を使っている。
aとbとが共通因数を持たないならばa^2+b^2の奇数の素因数はどれも4n+1の形をしている
------------------

お礼

非常に分かり易い証明ありがとうございます。

４n＋１型の素数が無限にあることが証明できさえすれば、４の倍数の８n＋１型も証明できますね。

残りも頑張って見つけてみたと思います。

回答No.3

yoikagari

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node34.html
の定理27はどうでしょうか？
「8n+1型の素数が無限に存在する」という事実は、この定理27のm=8における特別な場合です。

お礼

とても参考になりました。

素数に関する証明は難しい部分も多いですが、理解できる形にしていきたいと思います。

回答No.1

koko_u_u

Dirichletの算術級数定理　でググってください
個別にはもっと簡単に証明できるのかもしれませんが。

お礼

回答ありがとうございます！この定理も非常に難しいですね。

もう少し優しく証明できる題材があればよいのですが・・・頑張って探してみます。