極限-はさみうちの原理-

質問

xy平面上に2つの曲線C1：y=(sinx)/x^2 (x＞0)，C2：y=(cosx)/x (x＞0)があり，曲線C1，C2の交点のx座標を小さい方から順にa_k (k=1，2,…)とする．a_k≦x≦a_(k+1)において，曲線C1と曲線C2とで囲まれる部分の面積をS_k (k=1，2，…)とするとき，次の問に答えよ．
(1) kπ＜a_k＜{k+(1/2)}π (k=1，2，…) が成り立つことを示せ．
(2) S_k (k=1，2，…) をa_k，a_(k+1)を用いて表わせ．ただし，三角関数を用いない形で答えよ．
(3) lim[n→∞]{Σ[k=n+1,2n]S_k} を求めよ．

という問題です．
(1)は，a_kは結局x=tanxの交点のx座標に等しいこと，0<x<π/2ではtanx>xであること，tanxの漸近線を考えることで示せました．
(2)は，kが偶数のときcos(a_k)>0，kが奇数のときcos(a_k)<0であることとa_k=tan(a_k)であることを利用して
S_k=1/√{1+(a_k)^2}+1/√{1+(a_(k+1))^2}

問題は(3)なのですが，明らかに(1)の不等式を利用してのはさみうちの原理だと思うのですが…とりあえず分かったところまで書きます．

(1)よりkπ＜a_k＜{k+(1/2)}πであるから
1/√{1+(π^2)(k+1/2)^2}+1/√{1+(π^2)(k+3/2)^2}<S_k<1/√{1+(π^2)(k+1)^2}+1/√{1+(π^2)k^2}
ここで，
(最右辺)<(1/π){1/k+1/(k+1)}<∫[k-1,k+1]1/xdx
よって，Σ[k=n+1,2n]S_k<(1/π)∫[n,2n](1/x)dx+(1/π)∫[n+1,2n+1](1/x)dx→(2/π)log2 (n→∞)

…たぶん求める極限値は(2/π)log2になると思うのですが，左側の不等式による評価が出来ず行き詰っています．どなたかご教授ください．

回答No.1

mis_take · ベストアンサー

f(x)=1/√{1+x^2} とおきます。

kπ<a_k<(k+1)π　より
πf(kπ)>πf(a_k)>πf((k+1)π)
∫[(k-1)π～kπ] f(x) dx > πf(a_k) > ∫[(k+1)π～(k+2)π f(x) dx
∫[nπ～2nπ] f(x) dx > πΣ[n+1～2n] f(a_k) > ∫[(n+2)π～(2n+2)π] f(x) dx
∫[(n+1)π～(2n+1)π] f(x) dx > πΣ[n+1～2n] f(a_{k+1}) > ∫[(n+3)π～(2n+3)π] f(x) dx

あとはあなたなら十分計算できると思いますので省略します。

念のため
∫f(x)dx = log(x+√{1+x^2})
答はあなたの推測どおり 2log2/π

お礼

ご回答ありがとうございました！
kπ<a_k<(k+1)πにすれば、はさみうちが容易になりますね。参考になりました！