n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθの極限

質問

cosθ=exp(-(1/2)θ^2+a(θ)θ^2)
a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおく事をヒントに、
lim(n->∞)n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ=(2π)^1/2
が示せるそうなんですが、全くわかりません。
変数変換するんでしょうけどうまくいきません…助けてください。
(∫[x=-∞,∞] exp(-x^2) dx=π^1/2 を使うらしいです）

回答No.1

tomtak · ベストアンサー

a(θ)=[log(cosθ)]/θ^2 +1/2 とおき、
θ√n＝xとおくと、

n^1/2∫[θ=-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ　
　＝　∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]exp(-(1/2)x^2+a(x/√n)x^2)dx

とかけます。
被積分関数の中の、a(x/√n)の部分は、

　a(x/√n)=n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2

となります。cosを原点の周りで展開すると、

　cos(x/√n)＝1-(1/2)x^2/n+Ｏ(x^4/n^2)

と書けるので、これをlogに入れてやると、

　log(cos(x/√n))＝log(1-x^2/(2n)+Ｏ(x^4/n^2))

となります。logを１の周りで展開すると、

　log(cos(x/√n))＝-x^2/(2n)-Ｏ(x^4/n^2)

となるので、結局、

　a(x/√n)＝n[log(cos(x/√n))]/x^2 +1/2
　　　　　＝n[-x^2/(2n)-Ｏ(x^4/n^2)]/x^2 +1/2
　　　　　＝-1/2-Ｏ(x^2/n)+1/2
　　　　　＝-Ｏ(x^2/n)

となります。これを元の被積分関数のexpに戻すと、
被積分関数 fn(x)は、

　fn(x)　＝　exp(-(1/2)x^2 - Ｏ(x^2/n))

となります。
n→∞のとき、fn(x)→exp(-x^2/2)　に収束します。また、このとき積分範囲は[-∞,∞]となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えてもよいならば、
（この辺が少し曖昧ですが・・）

lim(n→∞)∫[x=-√nπ/2,√nπ/2]fn(x)dx
　＝∫[x=-∞,∞]exp(-x^2/2)dx
　＝√(2π)

となります。

極限操作と積分の順序を入れ替えるには、何らかの定理を使う必要があるかもしれません。

お礼

どうもありがとうございました。最後の極限と積分の順序を入れ替えるところはルベーグの収束定理を使うのでしょうか？積分範囲がnの関数になってても大丈夫なんでしょうか？これを機に調べてみます、どうもありがとうございました。