極限の計算（はさみうち）

質問

a>0のとき、lim[n->+∞]a^(1/n)=1 を証明せよ。

これをハサミウチの原理を使って証明したいのですが、
肝心の不等式が皆目見当がつきません。
ヒントを教えていただけたら幸いです。
お手数ですがよろしく御願い致します。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

a>1の場合はa=1+x (x>0)とおくと
a^(1/n)=(1+x)^(1/n)<1+x/n
となります。
両辺ともの1よりも大きいためそれぞれn乗すると証明できます。(1+x/n)^nを2項定理で展開すればよいわかると思います。

0<a<1の場合はb=1/aとおいてa>1の場合の関係を利用しましょう。

a=1の場合は自明。

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.3

kabaokaba

ついでに
nが自然数とはどこに書いてないので
適当に自然数で評価してあげる必要があるのかも

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.1

kabaokaba

二項定理(1+x)^n

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。