数III相当 区分求積分 はさみうち この方針で？

質問

積分の問題の練習をしていて、分からないものが出てきました。
一応方針を立ててやってみたのですが、うまくいきません。
詳しい方おられましたら、どうぞよろしくお願いします。
（解説の無い問題集で勉強するのは非効率とは思うのですが...）

x≧0のとき、不等式x-(1/2)*(x^2) ≦log(x+1) ≦x　
が成り立つことを、前問で証明できました。これを用いて、
lim[n→∞]Σ[k=1,n] 　log〔1+{k/(n^2)}〕　を求めたいです。

おそらく区分求積分とはさみうちの原理を使うのではと
考え、不等式中のxを　x=k/nや x=k/(n^2) などとして
計算してみたのですが、よく分かりません。
とくに、左側のx-(1/2)*(x^2)が答えに近づきません...。

答えは、1/2　です。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

＞例えば不等式でx=k/(n^2)とおきかえると、
＞右側のxについてはlimΣをつければ
＞limΣ(1/n)*f(k/n) (f(x)=x)
＞となるので、∫[0,1]x dx =1/2

最初の行は、x = k/n でないと、話が繋がらず、
「おきかえると」という表現もちょっとまずいのですが、
本当のミスだと、話が次につながらないので、
単なるタイプミスでしょうか？

本当のミスだった場合に備えて、一応、説明しておきますと、
区分求積法の式は大体その通りですから、その式に持ち込むため、
k/n^2 から、(1/n)をくくり出す必要があります。
つまり、k/n^2 = (1/n)(k/n) とします。

すると、lim[n→∞]Σ[k=1,n](k/n^2) = lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n](k/n) = ∫[0,1]xdx とできる、というのが、正しい筋道で、最初から「おきかえる」と言ってしまうと、ちょいと話が違います。

前回の回答で、「おいてみると、どういう積分の形になるかが見えてくる」のつもりで、そこんとこを端折った「おきかえる」という表現をしたのが、誤解の元だったかもしれません。だったとしたら、申し訳ありませんでした。

左側の不等式の方は、もうちょっと、面倒ですが、基本は同じ要領で、

k/n^2 - (1/2)(k/n^2)^2 = (1/n)(k/n) - (1/2)(1/n)(1/n)(k/n)^2 なので、

(極限や積分の表現、途中はちょいと端折って書きますが)

limΣ{k/n^2 - (1/2)(k/n^2)^2}
= lim(1/n)Σ(k/n) - (1/2)lim(1/n)(1/n)Σ(k/n)^2
= lim(1/n)Σ(k/n) - (1/2)lim(1/n) * lim(1/n)Σ(k/n)^2
= ∫[0,1]xdx - (1/2)*lim[n→∞](1/n) * ∫[0,1]x^2dx

lim[n→∞](1/n)=0となるので、結局、1/2に。

limをこういう具合にいつでも分割していいのか、というと、
必ずしも、そういう訳ではなく、分割した極限が、それぞれ、
収束して、有限の極限値を持つことが条件が必要です。

それを、一々、答案に書く必要はないと思いますが、
そういう事情なので、計算的には、値は不要でも、
∫[0,1]x^2dxの値を求めて、計算式に書いておくか、
有限の値に収束することを但し書きで書いておかないと、
議論が不十分、ということで、減点がありそうな気がします。

お礼

ご返答ありがとうございます。
大変参考になります。スッキリとわかりました。

x^2部でk/n^2 を (1/n)(k/n)とするところまでは
至っていたのですが、区分求のために
(1/n)(k/n)のひとまとまりを無理に作ろうとして、
lim(1/n) のように単独で扱うことを
しようとしていませんでした。

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「左側のx-(1/2)*(x^2)が答えに近づきません」ってことはないように思えるんだけど....

どういう計算をしてそう感じたのでしょうか?

補足

素早いご返答ありがとうございます。
例えば不等式でx=k/(n^2)とおきかえると、
右側のxについてはlimΣをつければ
limΣ(1/n)*f(k/n) (f(x)=x)
となるので、∫[0,1]x dx =1/2
となって、はさみうちに使えそうな値になりました。

ただ左側のx-(1/2)*(x^2)については
x=k/(n^2)とおきかえたとして、
その後の計算の仕方が分からないのです。

どのように運べば1/2になるのか、よければ
アドバイスをください。

どうぞよろしくお願いします。