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積分の不等式で質問です。
積分の不等式で質問です。 （ｎ＋１）｜∫０～１ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜ ≦（ｎ＋１）∫０～１｜ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ｜ ｄｘ この不等式は、なぜ成り立つのですか？
- shiran-kai
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nを自然数として 0<x≦1で x^n>0 x=0でcosπx=1 0<x<1/2で cosπx>0 x=1/2で cosπx=0 1/2<x<1で cosπx<0 x=1で cosπx=-1<0 したがって 0<x<1/2で x^n*cosπx>0 1/2<x≦1で x^n*cosπx<0 x=0,1/2でx^n*cosπx=0 以上を考えて 積分範囲で x^n*cosπx の関数の積分がどうなるか、考えてみれば明らかでしょう。 添付図はn=0,1,2,3,…と増加して行ったときの x^n*cosπx（青）と|x^n*cosπx| (0<x≦1/2は青、1/2＜x≦1は紫) と積分との関係を表したものです。 絶対値をとった非負関数を積分すれば積分結果が正ですので積分値はもっとも大きくなります（右辺）。 左辺は積分範囲内で非積分関数の符号が正から負に変化しますので積分値は差し引きした積分の絶対値となって小さくなります（左辺）。
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｜∫０～１ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜ ＜｜∫０～１/2 Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜（前半部） +｜∫１/2～１ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜（後半部）・・・（１） が成り立つ。 関数ｆ（X）＝X^nCOS（ｎX)は区間１/2～１で負値を取るからである。 （前半部）＋(後半部） ＝∫０～１｜ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ｜ ｄｘ よって、表題の不等式が成り立つ。（この場合等号は成り立たない。）
- sokamone
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f(x):実数値関数 のとき、 -|f(x)|≦f(x)≦|f(x)| なので、 -∫|f(x)|dx≦∫f(x)dx≦∫|f(x)|dx よって、 -∫f(x)dx≦∫|f(x)|dx、かつ、∫f(x)dx≦∫|f(x)|dx が成り立つ。よって、 |∫f(x)dx|=max{∫f(x)dx, -∫f(x)dx}≦∫|f(x)|dx 証明終了。
｜∫１/2～１ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜＝∫１/2～１｜ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ｜ ｄｘ・・・・（１） ｜∫０～１/2 Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜＝∫０～１/2｜ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ｜ ｄｘ・・・・（２） （１）式と（２）式を足します。 ｜∫０～１ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜ ≦左辺式 ＝右辺式 ＝∫０～１｜ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ｜ ｄｘ・・・・（３）
（ｎ＋１）｜∫０～１ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜ ≦（ｎ＋１）∫０～１｜ Ｘ＾ｎ ＣＯＳπＸ｜ ｄｘ この問題の意味は、不等式か等号が成り立つといっています。 したがって、等号が成り立てば、不等式は成り立たなくても良いのです。
- Tacosan
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#1 のほかにも ・x^n cos πx ≦ |x^n cos πx| だから とか ・実際に計算したらそうなった とか いくつか考えられそう.
｜∫０～１ ＣＯＳπＸ ｄｘ｜ ≦∫０～１｜ ＣＯＳπＸ｜ ｄｘ が成り立つからではないでしょうか。
