持続係数

質問

持続係数というのがあるらしいのです。例えば、４９→３６→１８→８というふうに、各位の数字を掛け合わせて、次の数字を出し、その数字の各位を掛け合わせてその次の数字とする。こうやって、最後一桁の数字が出るまで展開します。上の場合だと、３回展開しているので、４９の持続係数は３になるのだそうです。そこで、問題なのですが、持続係数が４になる最小の数は何でしょうか？しらみつぶしに探せば、たぶん７７だと思うのですが、答えは見つかりますが、何か漸化式のようなもの、あるいは公式・法則はあるのでしょうか？どなたか、ご教唆願えないでしょうか？よろしくお願い致します。

回答No.4

noname#157574

alice_44 先生の補足（0で終わる場合）
0←10←25←55
0←10←52
0←20←45←59
0←20←45←95
0←20←54←69
0←20←54←96
0←30←56←78
0←30←56←87
0←30←65
0←40←58
0←40←85
以上から，あなたのおっしゃるとおり持続係数が4になる最小の自然数は77のようです。

回答No.3

alice_44

0 を忘れていました。
A No.2 の表に現れる二桁の数が少なすぎるので、
なんとなく変だとは思ったのですが。

さて、「0」が一桁の数か？というと…
「0100」を普通は四桁でなく三桁と言うことや、
桁数と常用対数の関係などを見ても、
「0」を一桁と呼んでよいかはカナリ疑問です。

とはいえ、任意の自然数に対して「持続係数」を
定義するためには、「→0」となる列も
認めたほうが都合は良さそうです。

で、「0←」も含めて表を拡げると、
55→25→10→0 となる 55 が、
持続係数 4 となる最小数のようです。

回答No.2

alice_44

シラミツブシと言っても、「持続係数」を端から計算するだけ
というもの何だか悔しい。手計算で少し喰い下がってみましょう。
４９→３６→１８→８ が例示されていれば、７７→４９ には
気がつくので、二桁の数で他に持続係数が４になるものを探します。

この問題の「→」で、数の桁が増えることはありません。
一桁の数 n 個の積は ９^n 以下だからです。
よって、「→」を逆にたどってみるとき、一桁の数２個の積に
分解できない数が出てきたら、そこから先は行き止まり or 三桁以上
なので、もうたどらなくてよいことになります。
この一点だけを手掛かりに、１～９ から逆にたどってみます。

１←１１
２←１２←２６
２←１２←６２
２←１２←３４
２←１２←４３
２←２１←３７
２←２１←７３
３←１３
３←３１
４←１４←２７←３９
４←１４←２７←９３
４←１４←７２←８９
４←１４←７２←９８
４←４１
５←１５←３５←５７
５←１５←３５←７５
５←１５←５３
５←５１
６←１６←２８←４７
６←１６←２８←７４
６←１６←４４
６←１６←８２
６←６１
７←１７
７←７１
８←１８←２９
８←１８←９２
８←１８←３６←４９←７７
８←１８←３６←９４
８←１８←６３←７９
８←２４←３８
８←２４←８３
８←４２←６７
８←４２←７６
８←８１←９９
９←１９
９←９１

これで全部。
二桁の数で持続数４のものは７７だけであることが確かめられました。

お礼

ありがとうございます。地道に計算するしかないようですね。二桁の整数でこれだけ大変なのですから、三桁、四桁・・・となったら、想像を絶しますね。この問題は、別名「ポセイドンの数列」とも呼ばれているようです。数列である限り、漸化式があるはずです。なんとかしてそれを発見したいですね。ありがとうございました。

回答No.1

178-tall

>…持続係数が４になる最小の数は何でしょうか？しらみつぶしに探せば、たぶん７７だと思うのですが、答えは見つかりますが、何か漸化式のようなもの、あるいは公式・法則はあるのでしょうか？

"persistence of a number" で検索してみても、コンピュータで「しらみつぶし」させるしかなさそうですね。
　http://www.daniweb.com/software-development/c/threads/183219

"Unsolved Problems in Number Theory " にも記されているようで、規則性は解明されてないらしい。
勘定するだけならスプレッドシート上でも簡単に組めるけど、確かに不規則…。

"multiplicative persistence of a number (乗算耐久数 ？) " が 4 になる最小数は 77 。
→ 参考 URL　>persistence of a number

参考URL：

http://www2.research.att.com/~njas/doc/persistence.1.gif

お礼

ありがとうございます。大変助かりました。かなりの難問なんですね。それがわかっただけでも、生徒に自信をもって話できますし、自分でも公式あるいは法則を見つけてやろうという気になれます。本当に、ありがとうございました。