f（x）=

質問

f（x）=
x^3＋2ax^2＋（1-a）x
　＋a（a^2-a-1）
g（x）=x^2＋ax-a
（a≠0）のとき、
f（x）= g（x）=0が共通解pを持つようなaの値を全て求めよ

という問題で、
答えには
字数を下げるために
f（x）÷g（x）を筆算しf（x）=g（x）（x-a） ＋（1-a^2）a＋（a^2-1）として、

f（p）= g（p）=0だから0=（1-a^2）a＋（a^2-1）
としているんですが、そもそもf（x）÷g（x）をするときg（x）=0となるxのときを別に考えてなくていいんですか？

筆算のあとにx=pを代入してf（p）=g（p）=0としていますが、
ならばその前にやった筆算は0で割ったことになってしまう気がするのですが？
ふと分からなくなりました…

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

数式として恒等的に 0 でなければ割ってもかまいません.
なお, この議論において「割る」という操作は本質ではありません.
本当にやりたいのは, 2つの多項式 p(x), q(x) によって f(x) = p(x) g(x) + q(x) と書くこと. これができれば話は進んでいきます.
で, この p(x), q(x) は「神様が与えてくれた」でもいいんだけど, 神様に頼らず生きていくために「f（x）÷g（x）」を考えている. この計算の商が p(x), 余りが q(x) だからね.

お礼

分かりました
g（x）が恒等的に0ではないから、割ってもいいんですね。
有難うございます。疑問が晴れました。

回答No.2

mister_moonlight

＞f（x）÷g（x）を筆算しf（x）=g（x）（x-a） ＋（1-a^2）a＋（a^2-1）として
＞g（x）=0となるxのときを別に考えてなくていいんですか？

f（x）＝g（x）（x-a） ＋（1-a^2）a＋（a^2-1）はxの値に関係なく成立する恒等式。

それだけの事だよ。

お礼

似たようなことがチャートに書いてあった気がします。参考になりました。