中学レベルの問題です

質問

問題集を解いていてわからない事があります。

問：aを３ではない実数の定数とする。２つの２次方程式
　x2＋ax＋３＝０・・・(1)　　x2＋3x＋a＝０・・・(2)
がただ１つの共通する解をもつとき、aの値および共通する解を求めよ。

解：共通する解をx＝αとして、(1)、(2)に代入すると
　　α2＋aα＋３＝０・・・(1)´
　　α2＋3α＋a＝０・・・(2)´
　(1)´と(2)´より
　　(a－３)α＋３－a＝０
　　(a－３)(α－１)＝０
　a≠０より　α＝１
　これを(1)´に代入すると
　a＝－４
※a＝－４を(1)、(2)に代入すると
(1)は　x2－4x＋３＝０　　(x－１)(x－３)＝０
(2)は　x2＋3x－４＝０　　(x－１)(x＋４)＝０
よって、ただ１つの共通する解x＝１をもつ。
だからa＝－４、共通する解はx＝１

疑問１：なぜxをαにおきかえるのですか？
　　　　共通する解なのでxのまま計算できるのではないのですか？

疑問２：※以降の解は必要あるのですか？
　　　　既にaとαの答えがでてるので意味ないと思うんです。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

疑問１：なぜxをαにおきかえるのですか？
　　　　共通する解なのでxのまま計算できるのではないのですか？

xは全ての数に対して成立する方程式の値、αはその中で共通解となるもの。
したがって、当然区別するべき。それをやらないと減点の対象になるだろう。

疑問２：※以降の解は必要あるのですか？
　　　　既にaとαの答えがでてるので意味ないと思うんです。

果たして、それが本当に条件を満たすかどうかの確認が必要。
必要条件として求めたが、十分条件でもあることの確認のために必要。

お礼

αにはそんな意味があったんですね。
ありがとうございました！

回答No.3

noname#56760

疑問１：なぜxをαにおきかえるのですか？
　　　　共通する解なのでxのまま計算できるのではないのですか？
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　ｘは(1)、(2)を満たすという範囲を設けられた変数です。
計算ドリルの(x-1)(x-2)(x-3)=0や(x-1)(x-2)(x-3)＜０みたいに、ｘが特定の値や範囲に必要十分条件で決まる(条件⇔答え　が成り立つ)なら、ｘのままでも良いでしょう。
しかし、この問題では(1)、(2)の方程式の答えのｘ中から、特定の値を抽出するということです。ここでｘと書いてしまうと、計算ドリルみたいに方程式の答えを求める作業をしているのか？という疑問が出てきます。採点者にそのような錯角を抱かせないために、方程式の答えの内特定の値を抽出する作業を行っているとアピールするためにxをαにおきかえるわけです。
　高校なら1様みたいにｘのままでも許されそうな気もしますが。
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疑問２：※以降の解は必要あるのですか？
　　　　既にaとαの答えがでてるので意味ないと思うんです。
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問題は「ただ１つの共通する解をもつとき」ですので、共通する解が2個出ないことを確認するためです。2個持つ時はグラフからa=3だとすぐ分かりますが。

お礼

確認のためですね
ありがとうございます！

回答No.1

kaze100

疑問１については、ｘのまま計算しても構わないと思います。
疑問２については、やっぱり共通する解は１つしかありませんでした
ということを明らかに示すために必要です。

お礼

なるほど、納得です。
ありがとうございます