チェバの定理の逆を証明したいです。

質問

通信制の大学で数学を勉強している者です。「チェバの定理の逆」についての証明で、頭を悩ませております(ToT)

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問：△ABCの辺BC、CA、ABまたはその延長上に点P、Q、Rをとる(3点のうち、辺の延長上にある点の個数は0または2とする)。
このとき、BQとCRが交わり、(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1ならば、AP、BQ、CRは1点で交わることを証明せよ。
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という問題です。

一応、先生が証明の例を示してくださいました。

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解答例：
BQとCRの交点をSとする。
直線ASとBCの交点をTとする。

チェバの定理より、
(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1　…(1)

一方、仮定より、

(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1　…(2)

(1)(2)より、

BT/TC=BP/PC

TとPは、BCと同一の比で内分する点だから一致する。
∴P=T
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しかし私は、この説明を聞いても、よく意味がわかりませんでした。「辺の延長上にある点の個数は0」の場合を想定して証明してくださったと思われるのですが・・・(添付した図は辺の延長上にある点の個数が2の場合です)。
どうしてSを設定するのか、どうしてP=Tを示すことで、AP、BQ、CRが1点で交わることが言えるのか、さっぱりです(ToT)

私の先生の解答例の真意、もしくは、この証明問題の別の解法をご存知の方がいらっしゃいましたら、教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)

回答No.1

noname#101199 · ベストアンサー

こういう証明は慣れないと確かにちょっとわかりにくいですね。

まずこの定理では「AP、BQ、CRは"1点"で交わる」ことを言っています。
直線はAP,BQ,CRの３つあるので、フツーに３点で交わる可能性もあります。
しかしこの定理では、３本の直線が"たった1点だけ"で交わることを証明したいわけです。

質問者さんの解答では
BQとCRの交点をS、直線ASとBCの交点をTとしています。
この時点では、まだ、点Sから出発して点Ａを通る線（つまり直線SA）はPを通るかどうかわかりません。
とりあえずわかっているのは、点Sから出発した直線SAは、"一点で交わる"ことはわかります。
つまり、「BQ,CR,SAはたった１点で交わる」・・・（１）
わけです。（これは大丈夫ですよね。。。？）

これで更に（メネラウスの定理の逆、の仮定を使って）T=Pということが言えれば、直線SAと直線APは同じ直線だということができます。

SA=APが言えれば(1)から「BQ,CR,APがたった一点で交わる」ことが言えます。
なので、S=Pを示すことができれば証明完了というわけです。

また、別の方法としては
BQとCRの交点(S)と、APとBQの交点をTとしてみましょう。
この時、S=Tとなれば（交点が一個だけしかないいえるので）、証明が完了します。
こっちの方が直感的にはわかりやすいかもしれません。

お礼

ありがとうございます。
先に「成り立つ」場合の完成形を仮定し、「SAがPを通るか」の証明に変換すればいいのですね(^_^;)

「T=P」になれば、「AT(Sを通る)=AP」→APもSを通る

を導けるというわけですね！

ただ、cont711さんさんが提示してくださった別解の方なのですが、これはどうやって証明していけばよろしいのでしょうか？
すいません、もしよろしければ、ヒント等いただだれば嬉しいです。
よろしくお願いします(>_<)

回答No.2

noname#101199

確認したところ誤植がありました。

>なので、S=Pを示すことができれば証明完了というわけです。

は

>なので、T=Pを示すことができれば～～～

の間違いです。