「比」の扱い方とチェバの定理について。

質問

問題．　△ＡＢＣの辺ＡＢ、ＡＣ上にそれぞれ点Ｄ、Ｅを　ＡＤ：ＤＢ＝ｔ：１、　ＡＥ：ＥＣ＝１：（ｔ＋１）　となるようにとる。さらにＢＥとＣＤの交点をＰとし、ＰとＡを結ぶ直線がＢＣと交わる点をＦとおく。ＡＦが△ＡＢＣの内心を通るらば、ＢＦ：ＦＣ＝（　）：ＡＣであり、さらにＡＣ＝１２ＡＢのとき、ｔ＝（　）である。

ＡＦが内心を通るので、ＡＦは∠Ａの角の二等分線という事で、ＢＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＡＣ　になると思います。ここまでは、分かります。ここから、ｔ　を求める際、問題集の解説では、チェバの定理を使っています。ＡＢ：ＡＣ＝ＢＦ：ＦＣ＝１：１２　なので、チェバの定理に当てはめて、t=3 を導き出しています。

私は比の扱いが非常に苦手なので、AB:AC=1:12　と分かった時点で、よく分からないまま、AB=AD+DB、AC=AE+EC なので、AB=t+1、 AC=1+(t+1) として、ｔ＋１：１＋（ｔ＋１）＝１：１２　と考えてしまいました。もちろん、これでは、ｔ　は求まりません。私の解き方のどこが根本的に間違っているのでしょうか？

非常に基本的な質問だと思いますが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

lick6 · ベストアンサー

ＡＤ：ＤＢ＝ｔ：１、　ＡＥ：ＥＣ＝１：（ｔ＋１）
とありますよね。これは要するに
ADはDBの長さの t倍、ECはAEの長さの (t+1)倍、という倍率を示しているだけで決して長さを表しているわけではありません。
例えば t = 2 , AB = 3cm だと仮定してみましょう。
AD = 2cm , DB = 1cm
AC = 36cm から AE = 9cm , EC = 27cm
では AB = t(2) + 1 = 3cm であるから AC = 1 + (t(2) + 1) = 4cm ?
違いますよね。
これは AB = t + 1 , AC = 1 + (t + 1) としている時点ですでに t を倍率ではなく長さとごっちゃにしているので違ってしまうのです。
図に書くときは ○ □ △ で分けて考えてみると多少わかりやすくなると思います。
ちなみに比のわかりやすい例が％ですが、
食塩水Aは200gで24%の濃度
食塩水Bは500gで8%の濃度
AとBを混ぜたときの濃度は？
といわれて計算するとき 24% + 8% = 32% とはしませんよね。

補足

回答ありがとうございました。ｔに数字をを代入すれば、私のやっていたことがいかに間違いであったか分かりました。比は、長さでは無いという事を肝に銘じます。比が問題に出てきた時は、足したり、引いたりは、簡単にはしない方がいいのでしょうか？

回答No.2

itemi_qche

t はあくまで比率をあらわすだけなので，
AB に対する t の重みと AC に対する t の重みは違います。
"1" に対する t の大きさが AB と AC で異なるのです。
それをあたかも同じようにとらえたのが失敗の原因。。
って言ってもわかりにくいですよね。

お礼

回答ありがとうございました。ｔに具体的な数字を代入すると、分かってきました。"1" の大きさが AB と AC で異なるのですね。だから、それを足して、１：１２だとは言えないのですね。比の扱いには注意します。ほんとにありがとうございました。