チェバの定理の問題

質問

添付画像において
（RB/RA）・（CP/BP）・（AQ/CQ）＝１ ・・・(ア)
をチェバの定理を用いて、証明しようと思っております。

そこで、△RBQにおけるチェバの定理より、
（RA/AB）・（BO/OQ）・（QH/HR）＝１
面積比に直して(△AOR/△ABO)・（△BCO/△COQ）・(△AOC/△AOC)・(QH/HR)=1
整理して
(△BOC/△AOC)・(△AOC/△ABO)・(△AOR/△COQ)・(QH/HR)＝１
⇔（RB/RA）・（CP/BP）・(△AOR/△COQ)・(QH/HR)＝１・・・(イ)

（ア）を証明するには、(イ)と見比べて、
(△AOR/△COQ)・(QH/HR)＝（AQ/CQ）・・・(ウ)
が成り立つことが必要十分。
ここで（AQ/CQ）＝(△AOQ/△COQ)なので、(ウ)は
(△AOR/△AOQ)＝(HR/QH)　・・・(エ)となり、

(エ)が成り立てば、(ア)が証明される。

ここからが問題なのですが、(エ)がどうしても証明できません。
『(△AOR/△AOQ)＝(HR/QH)』　が証明できる方はいらっしゃらないでしょうか？
それとも私の式変形がどこか間違っているでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.1

nag0720

(エ)の証明はもう一度チェバの定理を使えばできると思いますが、
次のような証明法ではどうですか。

(RB/RA)・(CP/BP)・(AQ/CQ)
＝(△BCO/△ACO)・(△ACO/△ABO)・(△AOQ/△COQ)
＝(△BCO/△ACO)・(△ACO/△ABO)・(△AOQ/△COQ)・(△CQR/△BCQ)・(△BCR/△CQR)・(△BCQ/△BCR)
＝(△BCO/△ACO)・(△ACO/△ABO)・(△AOQ/△COQ)・(△AOR/△ABO)・(△ABO/△AOQ)・(△BCQ/△BCR)
＝(△AOR/△ABO)・(△BCO/△COQ)・(△BCQ/△BCR)
＝(RA/AB)・(BO/OQ)・(QH/HR)
＝１