メネラウスの定理の逆について

質問

この問題で、答えの導きかたがBP/PC・CQ/QA・AR/RB となっていて、どうしてこの導きかたになるのかがわかりません…

どなたか解説をお願いします

回答No.3

noname#222520

一般的にメネラウスの定理を適用するのは、△ABCの辺AB上に点Rがあり、辺CA上に点Qがある場合に、直線BCと直線QRの交点をPとすると、次の関係が成り立つというものです。
BP/PC*CQ/QA*AR/RB=1
質問にある式はこれと全く同じで、点Rが△ABCの辺ABの延長上にあり、点Qが辺CAの延長上にある場合にも、3点P、Q、Rが一直線上にあれば、同式が成り立つことを示しています。
これは、次のようにして導き出すことができます。

△BQRの面積をSとすると、
△ABCの面積は、S*AB/RB*AC/QA－(1)
△ACRの面積は、S*AR/RB*AC/QA－(2)
△BCQの面積は、S*CQ/QA*AB/RB－(3)
△CQRの面積は、S*PC/BP－(4)

(1)＋(3)から、
S*AB/RB*AC/QA+S*CQ/QA*AB/RB
=S*AB/RB*(AC/QA+CQ/QA)
=S*{(RB-AR)/RB}{(AC+CQ)/QA}
=S*(1-AR/RB)* QA/QA
=S*(1-AR/RB)

(2)+(4)から、
S*AR/RB*AC/QA+S*PC/BP
=S*AR/RB*{(QA-CQ)/QA}+S*PC/BP
=S*AR/RB*(1-CQ/QA)+S*PC/BP

(1)+(2)+(3)+(4)=Sであるから、
S*(1-AR/RB)+S*AR/RB*(1-QC/QA）+S*PC/BP=S
1-AR/RB+AR/RB-AR/RB*CQ/QA+PC/BP=1
PC/BP=AR/RB*CQ/QA
BP/PC*CQ/QA*AR/RB=1

これでメネラウスの定理にたどり着きましたが、この逆は次のように考えます。

直線BCと直線QRの交点をP´とすると、メネラウスの定理から、
BP´/P´C*CQ/QA*AR/RB =1
この式に、与えられた数値を当てはめると、
(4+CP´)/CP´*2/(2+2)*2/(2+3)=1
(4+CP´)/CP´=5
4/CP´+1=5
CP´=1=CP
よって、点Pと点P´は一致するので、3点P、Q、Rは一直線上にある

なお、参考までに、これを次のように考えることもできます。

上と同様に直線BCと直線QRの交点をP´とすると、
△BRP´について、メネラウスの定理から、
BA/AR*RQ/QP´*P´C/CB=1
この式に、与えられた数値を当てはめると、
3/2*{(P´Q+P´R)/P´Q}*CP´/4
=3/2*(1+P´R/P´Q)*CP´/4
=1
△QRAについて、メネラウスの定理から、
QP´/P´R*RB/BA*AC/CQ=1
この式に、与えられた数値を当てはめると、
P´Q/P´R*(2+3)/3*2/2
=P´Q/P´R*5/3
=1
P´R/P´Q=5/3
これを、上の3/2*(1+P´R/P´Q)*CP´/4=1に代入して、
3/2*(1+5/3) *CP´/4=1
3/2*8/3*CP´4=1
CP´=1=CP
よって、点Pと点P´は一致するので、3点P、Q、Rは一直線上にある

回答No.2

jcpmutura

メネラウスの定理は逆
「
任意の三角形ABCに対して、
直線BC,CA,AB上に点P,Q,R
をとり、
P、Q、Rのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、
(|BP|/|PC|)(|CQ|/|QA|)(|AR|/|RB|)=1が成り立つならば、
3点P、Q、Rは、1直線上にある。
」
も成り立つ。

その問題では,
直線BC上に点P
直線CA上に点Q
直線AB上に点R
があり
P、Q、Rのうち三角形ABCの辺上にある点が無い(0個)
から
|AB|=3
|BC|=4
|CA|=2
|AR|=2
|CP|=1
|CQ|=2

(|BP|/|PC|)(|CQ|/|QA|)(|AR|/|RB|)
=
{(|BC|+|CP|)/|PC|}{|CQ|/(|QC|+|CA|)}{|AR|/(|RA|+|AB|)}
=
{(4+1)/1}{2/(2+2)}{2/(2+3)}
=
(5)(2/4)(2/5)
=
1

だから
メネラウスの定理の逆
から
3点P、Q、Rは、1直線上にある。

回答No.1

trytobe

良く見えませんが、

チェバの定理・メネラウスの定理 - ヨッシーの算数・数学の部屋
http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm

が成立することを証明できている前提で、一気にどちらかの定理を適用しているのではありませんか。