ab>a+bの成立条件

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5518871.html
先ほどこちらで質問させていただいたものです。
回答していただき本当にありがとうございます！

まだ先にいただいた回答を完全に理解できたわけではありませんが、この質問に関連して新たな疑問ができましたので質問させていただきたいのです。

ab>a+bの成立条件、つまりa, bがどのような条件を満たせば ab>a+b は成立するのでしょうか？
パッと計算した感じはa, bがそれぞれ2以上でa≠bであることのようなんですが、私では証明できませんでした・・・。

気になってこのままでは本当に夜も眠れません！どうかよろしくお願いします！

回答No.2

info22 · ベストアンサー

不等式を変形すると
ab>a+b
ab-a-b>0
ab-a-b+1>1

(a-1)(b-1)>1

a=1やb=1は上の不等式を満たさないので

a≠1,b≠1

a>1の時　
a-1>0 なので両辺を(a-1)で割ると

　b-1>1/(a-1)
　b>1+{1/(a-1)} (a>1) …(1)

a<1の時
a-1<0 なので両辺を(a-1)で割ると

　b-1<1/(a-1)
　b<1+{1/(b-1)} (a<1) …(2)

(1)と(2)を満たす領域を、
横軸 a, 縦軸 b　にとって図示すると
添付図の斜線の引いた領域
（境界を含まず）になる。

以上から　ab>a+b　の成立要件は

「点(a,b)　が 図の斜線の領域内の存在することである」

お礼

ありがとうございます！前質問と合わせてスッキリわかりました！
b>～、a>～
という形で表せるものだとばかり思っていたので、こんな双曲線が答えだとは思いもしませんでした！
本当にありがとうございます！

回答No.4

dragons-41

#3です。
すみません、a,bは実数でしたね。
#2の方が正しいです。

回答No.3

dragons-41

ab>a+bより
ab-a-b>0
(a-1)(b-1)-1>0
(a-1)(b-1)>1
これを満たす条件は
a-1>1かつb-1>1
または
a-1<-1かつb-1<-1
よって
a>2かつb>2
または
a<0かつb<0
となります。

お礼

回答ありがとうございます！
間違った回答でしたが、絶対自分も犯してしまうミスなので、本当に参考になりました！
基本的な考え方として、
(a-1)(b-1)>1
のあと、本来ならばinfo22さんのように
i) a-1>1(または b-1>1)
と
ii) a-1<1(または b-1<1)
で場合分けしないといけないところを、dragons-41さんの回答ではi)の場合しか考慮していないから誤った回答なのですね？
更に
(a-1)(b-1)>1
を
a-1>1
と
b-1>1
に分けてしまったことも誤っているのでしょうか？

回答No.1

noname#133757

こんばんは。
a>1,b>1 か
a<0,b<0 のいずれか場合は、条件を満たすと思います。
a<0,b>1 や
a>1,b<0 の場合は、条件を満たせないと思います。

お礼

回答ありがとうございます！

i) a > 1 , b > 1 の場合
a,bが共に、例えば1.1の場合などは
ab=1.21、a+b=2
となってしまいます・・・。

ii) a < 0 , b < 0 の場合
これも多分すぐ上のような反例が見つかると思います。

繰り返しになりますが、回答していただいてありがとうございます。
※ちなみに虚数は考えないでいただきたいです。