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ab>a+bは常に成り立つでしょうか?
a,bが2以上のとき、ab≧a+bは常に成り立つような気がするのですが、証明できません。 本当に成り立つのでしょうか？ もし成り立たなければ、ab≧a+bが成り立つ条件を示していただけないでしょうか？
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左辺を移項して、 ａｂ－ａ－ｂ＝（ａ－１）＊（ｂ－１）－１ ですから、ａ＞＝２、ｂ＞＝２であればａ－１＞＝１、ｂ－１＞＝１であり、（ａ－１）＊（ｂ－１）＞＝１です。 従って（ａ－１）＊（ｂ－１）－１＞＝０ になります。
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- gohtraw
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＃１です。ａｂ－ａ－ｂは確かにａ、ｂそれぞれについて一次ですが、積という意味でいうと二次式と同じなので、二次不等式の常法として積の形に持ち込むことを考えたわけです。 他の変形としては因数分解の式の応用でしょうか。
お礼
なるほど！1次式に見えて実は2次式なんですね！ 2次式の定義を知っていればそもそも1次式にさえ見えないわけですが・・・ 自分の勉強不足でした！ありがとうございます！！！
補足
ちなみに、今回の質問も含め、http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5520215.html の方で解決していただきました！皆さんありがとうございます！
- info22
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> ab>a+bは常に成り立つでしょうか? たとえば a=b=2の時やa=b=1の時成り立ちません。 なので常に成り立つとはいえません。 > a,bが2以上のとき、ab≧a+bは常に成り立つような気がするのですが、証明できません。 成り立ちます。 a≧2, b≧2の時 1≧2/a 1≧2/b 辺々加えて 2≧(2/b)+(2/a) 2で割ると 1≧(1/b)+(1/a) ab(>0)を両辺にかけて ab≧a+b （証明終わり）
お礼
なるほど！不等式の証明の基本でした！ 自分の応用力のなさに愕然としています・・・ ありがとうございます！
■a=bの場合 a≧2 両辺に2を掛けると a^2≧2a ab≧a+b自体もa=bなので、証明すべき式は a^2≧2a となるので、成立 ■a>bの場合 両辺にaを足すと 2a＞a+b 両辺にaをかけると a^2＞ab よって、2aよりabが大きくなれば、ab>a+bが成立 ab-2a=a(b-2) b>2の為、a(b-2)>0 よってab>2a→ab>a+b成立 如何でしょうか。
お礼
ありがとうございます！しっかり理解できました！ こんな問題が基本問題であったような気がしないでもないです・・・
- kabaokaba
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ab-a-b = ab -a-b +1 -1 = (a-1)(b-1)-1 なので， b= (1/(a-1)) + 1 のグラフを考えて， a>=2, b>=2の領域と b >= (1/(a-1)) + 1の領域の 包含関係を考えれば分かります．
お礼
すいません、考えましたがよくわかりませんでした・・・
補足
不等式の証明の方法から ab ≧ a+b ab-a-b = (a-1)(b-1)-1 までは分かるのですが、ab と a+b を比較したいのに、なぜ b= (1/(a-1)) + 1 と、bについてのグラフ(しかも等式の)を考えなければいけないのでしょうか？
お礼
回答ありがとうございます！ ａｂ－ａ－ｂ＝（ａ－１）＊（ｂ－１）－１ の変形はどうやったら思いつくのでしょうか？ 私には次数が2次未満の式を平方完成(1次式の場合もそういうのでしょうか？)する発想がありません。 馴れですか？
補足
ちなみに、 ａｂ－ａ－ｂ＝（ａ－１）＊（ｂ－１）－１ このような変形は他にもバリエーションがあるのでしょうか？