.a≧0、b≧0のときa＋b/2≧√ab、等号はa＝bのときを証明した

質問

.a≧0、b≧0のときa＋b/2≧√ab、等号はa＝bのときを証明したいんですけど、教えてください

回答No.1

easternport

まず、すべての実数xについてx^2≧0であること。
a,bは0以上の実数であるので√の中に入れても問題無いです。
ということは√a-√bも実数であるので
もちろん (√a-√b)^2≧0
括弧を開くとa-2√ab+b≧0
一部移項して a+b≧2√ab
全体を2で割れば証明終了。等号成立は√a-√b=0の時、つまりa=bの時です。

この定理を相加相乗平均と言います。