「ab≠０ ⇒ a≠０またはb≠０」の真偽

質問

『「a≠０ または b≠０　⇒　ab≠０」の逆を述べ、その真偽を調べよ』、という問題があり、逆は「ab≠０　⇒　a≠０またはb≠０」になるのは理解できました。ですが、その真偽が回答では真になっているのですが、僕は「ab≠０ならばaもbもともに０であってはいけないから、“a≠０かつb≠０”になっているべき」と考えて、偽と答えてしまいました。僕の考えのどこが間違っているのでしょうか？“a≠０またはb≠０”というのは、“aとbの少なくても一方が０でない”と考えてはいけないのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.4

Tacosan

「少なくとも一方が 0 でない」っていうのは, 「両方とも 0 である」を含んでますよね.

お礼

解答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.3

noname#221368

＞a≠０またはb≠０”というのは、“aとbの少なくても一方が０でない”と考えてはいけないのでしょうか？

　正しいですよ、これは。

　あなたが引っ掛かっているのは、数学の「ならば」と日常語の「ならば」の意味のずれにあると思います。

　ab≠０ならば、a≠０かつb≠０．

はもちろん正しいのですが、

　ab≠０ならば、a≠０またはb≠０．

もまた正しいです。ここが日常語とのずれです。日常語では、

　ab≠０ならば、a≠０またはb≠０．
　a≠０またはb≠０ならば、ab≠０．

の両方が成り立つと考えてしまいがちですが、数学の「ならば」は違います。この場合で言えば、この先入観（？）は、

　ab≠０ならば、a≠０かつb≠０．
　a≠０かつb≠０または、ab≠０．

の両方が、本当に数学でも成り立つ事から来ていると思います。この状況を区別するために（大学以上の？）数学では、

　ab≠０　⇒　a≠０またはb≠０．
　ab≠０　⇔　a≠０かつb≠０．

という書き方とします。⇔が成り立つなら、⇒も当然成り立ちます。

　a≠０かつb≠０ならば、a≠０またはb≠０．
（a≠０かつb≠０　⇒　a≠０またはb≠０）

はいいですよね？。

　ab≠０　⇒　a≠０かつb≠０　⇒　a≠０またはb≠０．

という事です。
　言葉で言えば、「左辺　⇒　右辺」が成り立っても「右辺には、左辺が成り立たない場合も含まれるかも知れない」です。

　「左辺ならば、右辺」が成り立っても「右辺には、左辺が成り立たない場合も含まれる知れない」。

お礼

解答ありがとうございます。
“真の逆は必ずしも真ではない”ということですよね？
左辺と右辺をごっちゃにしてしまっていました。
参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

noname#96023

>？“a≠０またはb≠０”というのは、“aとbの少なくても一方が０でない”と考えてはいけないのでしょうか？
言葉の定義の問題ですが、片方が0であったら、他方は任意です。

お礼

解答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.1

10ken16

命題は真です

ａｂ≠0　⇔　ａ≠０　かつ　ｂ≠０
｛a,b｜ａ≠０　かつ　ｂ≠０｝⊂｛a,b｜ａ≠０　または　ｂ≠０｝

｛a,b｜ａ≠０　かつ　ｂ≠０｝は必要十分条件
｛a,b｜ａ≠０　または　ｂ≠０｝は必要条件

真偽は、結論が（仮定の）必要条件になっていれば真ですから。

お礼

解答ありがとうございます。
参考になりました。