行列式 ｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜｜Ｂ｜ の証明

質問

｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜｜Ｂ｜　の証明について質問します。
この証明では線形性と交代性をもつ関数Ｆ（a1,...,an）とその定理

Ｆ（a1,...,an）＝ Ｆ（e1,...,en）｜Ａ｜・・・(1)

を使います。

[証]（しばし証明にお付き合いください）
Ｂの列ベクトルを b1,...,bnとすれば、

｜ＡＢ｜＝Ｄ（Ａb1,...,Ａbn）.

この右辺をＦ（b1,...,bn）とおく。定理(1)により

Ｆ（b1,...,bn）＝Ｆ（e1,...,en）Ｄ（b1,...,bn）
　　　　　　　　＝Ｆ（e1,...,en）｜Ｂ｜

Ａの列ベクトルをa1,...,anとすれば、Ａej＝aj　であるから、

Ｆ（e1,...,en）＝Ｄ（a1,...,an）＝｜Ａ｜・・・(*)　■

証明の最後の行にある(*)で
Ｆ（e1,...,en）　と　Ｄ（a1,...,an）が等しいというのが分かりません。

説明していただけないでしょうか、お願いします。

回答No.1

mazoo · ベストアンサー

定義通りです。

F(b1,....,bn)=D(Ab1,.....,Abn)
より
F(e1,....,en)=D(Ae1,.....,Aen)=D(a1,.....,an)
∵Aej=aj

お礼

これは気付かなかったです。ありがとうございました。