微分法の問題です。数学III

質問

【問題】
f(x)は微分可能な函数で,
f(-x)=f(x)+2x, f'(1)=1, f(1)=0をみたす。
(1)f'(-1)を求めよ。
(2)lim[x→1]{f(x)+f(-x)-2}/(x-1)を求めよ。

どなたか分かる方、
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

(1)
-f'(-x)=f'(x)+2
-f'(-1)=f'(1)-2=1-2=-1
∴f'(-1)=1

(2)
lim[x→1]{f(x)+f(-x)-2}/(x-1)

f(-x)を代入
=lim[x→1]{f(x)+f(x)+2x-2}/(x-1)
=2lim[x→1]{f(x)+x-1}/(x-1)

f(1)=0を引いて微分の定義の形に持っていく
=2lim[x→1]{f(x)-f(1)+x-1}/(x-1)

=2lim[x→1]{f(x)-f(1)}/(x-1)
+2lim[x→1](x-1)/(x-1)

=2f'(1)+2

後は f'(1)=1を代入するだけ。

お礼

ありがとうございました。

補足

f(-x)を微分したら
-f(-x)になる理由がわかりません＾＾；
なぜマイナス（-）がつくのかが＾＾；

よかったら
教えてください('▽'*)ニパッ♪

回答No.2

kabaokaba

微分係数の定義に従えばいい．

(1)
f(-1)=f(1)+2=2
f(-1+h)=f(1-h)+2(1-h)
よって
( f(-1+h)-f(-1) )/h
=
( f(1-h)+2(1-h)-f(-1) )/h
=
( f(1-h)+2-2h-2 )/h
=
(f(1-h)/h) -2
=
-( (f(1-h)-f(1)) / (-h) ) -2 (f(1)=0より)
->
-f'(1) -2
=
-3

(2)
f(x)+f(-x)-2
=
f(x) + f(x)+2x -2
=
2f(x)+2x-2
=
2(f(x)-f(1)) + 2(x-1)
よって
lim[x→1]{f(x)+f(-x)-2}/(x-1)
=
f'(1)+2
=
3

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

naniwacchi

「函数」とは、また古い表現ですね。

(1) 条件式の両辺を微分してみてください。
（左辺）の微分には少し注意が必要です。

(2) まず、条件式を用いて分子を整理します。
わかりにくければ、x-1= hとでも置いて h→ 0の極限とすれば、
「微分の定義」を適用しやすくなります。

まずは条件式をいろいろといじくってみるところからですね。

お礼

ありがとうございました！