ある関数が微分可能かどうかを調べる問題がわからない

質問

関数 f(x)=|x(x-2)| が x=2 において微分可能であるかどうか調べよ

という問題がわかりません。

グラフを描くと微分可能ではないように思うのですが、
(x=2に、右から近づいたときと左から近づいたときの、その点における接線の傾きが等しくないように思える)
計算で確かめることができません。
確かめられないというのは、やり方がわからないという意味です。

おそらく、
lim(h→2+0){ f(2+h)-f(h) / h }
lim(h→2-0){ f(2+h)-f(h) / h }
の値を求めて比較すればいいのでしょうが、
右側・左側からの極限がよく理解できていないため、どのような操作をしてよいかわかりません。
右側・左側からの極限まで戻ってやり直してみたのですが、いろいろ考えているうちに混乱してしまいました。

どなたかご教示いただけると幸いです。

回答No.2

proto · ベストアンサー

まず左極限、右極限の式に間違いがありますね。正しくは
　　lim(h→+0){ (f(2+h)-f(2)) / h }
　　lim(h→-0){ (f(2+h)-f(2)) / h }
です。

次に右極限の方からやってみましょう。
h→+0ということはh>0の範囲でかんがえてよい。
このとき(2+h)*h>0より
　　f(2+h) = |(2+h)*h| = (2+h)*h
絶対値を外すことに成功したので、改めて定義通り右から微分してみます。
　　lim[h→+0]{(f(2+h)-f(2))/h} = lim[h→+0]{((2+h)*h-0)/h}
　　　　　= lim[h→+0]{2+h} = 2

左極限も同様に、h<0の範囲で考えると
　　f(2+h) = |(2+h)*h| = -(2+h)*h
　　lim[h→-0]{(f(2+h)-f(2))/h} = lim[h→+0]{-(2+h)} = -2

よって
　　lim[h→+0]{(f(2+h)-f(2))/h} ≠ lim[h→-0]{(f(2+h)-f(2))/h}
よりx=2で微分不可能とわかりました。

お礼

改めてよく考え直すとh→0ですね。
h→2は全く的はずれでした。

hの範囲を分けるのは考えつきませんでした。
やったことがきちんと身に付いていなかったようで。

わかりやすい解説を有り難うございました。
すっきりと理解できました。

回答No.3

hagy5217

No,1です。
h→０で　f(a+h)-f(a) / h　　と　f(a-h)-f(a) / h でした。

お礼

h→+0、h→-0とせず、
h→0で f(a+h)-f(a) / h、f(a-h)-f(a) / h とする方法ですね。
自分の知らない方法だったので参考になりました。
有り難うございました。

回答No.1

hagy5217

h→０で　f(a+h)-f(h) / h　　と　f(a-h)-f(h) / h
が同じなら微分可能、違えば不可だと思われます。

計算すると前者が４、後者が０ なので不可では。
間違っていたらすみません。