証明問題の解答を、お願いします！

質問

問題は「ｎは自然数とする。このとき５^n（５のｎ乗）－１は４の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。」です。
ｎ＝１のとき５^1－１＝４までは証明できるのですが、この後の証明方法が思い浮かびません。どなたか教えて下さい！宜しくお願いします。

回答No.2

tak2006 · ベストアンサー

５＾ｉ－１＝Ｉ（ｎ）と置きます。（ｉ＝１，２，３，．．．）
ｎ＝１のとき、Ｉ（１）＝５＾１－１＝５－１－４ と成り立ちます。

次に、ｎ＝ｉのとき、「Ｉ（ｉ）＝５＾ｉー１＝４Ｚという４の倍数となると仮定する」と、ｎ＝ｉ＋１のとき、

Ｉ（ｉ＋１）
＝５＾（ｉ＋１）－１
＝５×５＾ｉ－１
＝５×５＾ｉ－１　－４＋４
＝５×５＾ｉ－５＋４
＝（５×５＾ｉ－５）＋４　
＝５×（５＾ｉ－１）＋４
＝５Ｉ（ｉ）＋４
＝５×４Ｚ＋４
＝４（５Ｚ＋１）

よって、ｎ＝ｉ＋１でも成立する。

ｎ＝ｉ＝１でも成立する。
→ｎ＝ｉ＋１－２でも成立する。
→ｎ＝３でも成立。
→・・・

と証明できます。

回答No.1

TK0318

ｎ＝ｋの時成り立つとして
ｎ＝ｋ＋１のとき

５＾（ｋ＋１）－１
＝５＾ｋ＊５－１
＝５（５＾ｋ－１）＋５－１
＝５（５＾ｋ－１）＋４

仮定より５＾ｋ－１は４の倍数なので５（５＾ｋ－１）＋４は４の倍数。