統計学について（抽出）

質問

政府の事業仕分けにおいて、全国一斉テストの経費削減を求められた文部科学省は、全数調査をやめて。４０％の抽出調査に変えることによってコストの削減をはるかと述べた。これに対して、レンホウ委員からは、「６％ではだめなのですか？４０％を抽出する場合と６％を抽出する場合でどこがどのように違うのか？それをわかるように説明してください。」という指摘があった。この指摘に対して、文部科学省の担当官は、（おそらく意図的に）的外れな返答を繰り返したため、最終的に「予算要求の大幅縮減」となった。という問題があったが投じたコストと得られた平均点の精度との関係をまとめてわかるように説明してください。なお、具体的に計算をするための基礎として、小中学生の全部で９年について、各学年の全数２００万人に単価２００円のテストを受けさせたと仮定します。この場合に必要なコストは３６憶円になりますが、実際の文部科学省の予算申請も３６憶でした。また、このテストにおける平均点は６０点、標準偏差は２０点と仮定します。

この問題について教えてください。

回答No.1

at9_am

根本的に理解していないようですが、このテストの目的は、全国のテストの平均ではなく、その分布にあります。例えば北海道と東京都と沖縄県の比較、という具合です。
全国、全学年の平均点だけであれば、それこそ5％でも十分に精度は高いでしょうが、分布まで考えるならば5％では不足しています。

平均点のみであれば、計算は楽です。200万人×6％＝12万人なので、平均点の標準誤差は、概算で20/350=0.06点ほどになります。この数字でも小数点以下±1点を参考としてしまう程度の誤差です。
一方で40％であれば、80万人なので0.02点ほどになります。この程度であれば、小数点以下1ケタも充分に意味を持ちます。

しかしながら分布を考えるならば、6％ではまったくもって不足するものとなります。
例えば正規分布に従っているものとして、都道府県別で考えるためには、単純に考えて全都道府県が同数としても各都道府県2500人ほどです。これでは標準誤差は概算で20/50=0.6となります。この数字は、平均点の±2点の差（小数点以下ではない！）を全くの参考としてしか扱えない程度の誤差になります。
40％では1万7千人ほどなので、±0.15点ほどです。この数字であれば、平均点は小数点以下ひと桁ですら参考という程度の意味は十分に持ちます。
もちろん、実際には子どもが多い都道府県、少ない都道府県がありますから、もっと差は激しいと思われます。

この差は、言ってみれば、58点と62点が同等程度の意味しか持たない精度と59.1点と60.5点は60.5点のほうが高い平均点を持つといえるという精度の差です。

お礼

どうもありがとうございました。
よくわかりました。