偏差値の推定

質問

学習塾を経営するものです。

学校のテストから偏差値を推定する方法がないか考えています。
与えられる情報としては
「生徒の得点」「生徒の順位」「テストの平均点」「テストを受けた人数」
です。
正規分布に乗ると仮定すれば推定もできると思うのですが、偏差値の定義式に上の情報をのせることができず苦労しています。

お力になっていただけたらうれしいです。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

http://www.o-shinken.co.jp/benkyo/hensati/hensachi.htm

の一番最後の表が参考になるでしょうか。
順位÷受けた人数×１００[%]に対応する偏差値を見てください。

具体的な計算方法は
平均点をμ、標準偏差をσとすると、

μ+kσ点以上の点をとった人の割合は、(正規分布で近似しているので)
Q(k)=∫[t:k→∞]f(t)/√(2π)dt
となります。(ただし、f(t)=exp{-(t^2/2)}です)
なので、
上からQ(k)の位置にいる人の点数がμ+kσ点である、と考えることができます。

よって、テストを受けた人数N、ある人(以下A君)の順位をRとしたら、
Q(k)=R/Nとなるようなkを求め(※)、このｋに対して、
A君の点数＝μ+kσとなるようなσ(標準偏差の推定値)を求めます。

偏差値＝１０×(点数－平均点)／標準偏差＋５０
より、標準偏差の部分に、上で求めた推定値を代入すれば、偏差値も推定できます。

なお、点数の部分に、μ+kσを代入すると、
偏差値＝１０×ｋ＋５０
となるので、※でｋを求めた後、これに代入してもいいでしょう。

また、※の部分でのｋの求め方についてですが、例えば、Excelですと、
=NORMSINV(1-(R/N))
と入力すれば、kに相当する値が出力されるようです。(当然、R,Nは具体的な数値です)

・・・という感じでどうでしょうか？
計算方法については自信がないのですが、参考URLの数値と一致するので、間違ってはいないと思うのですが。

参考URL：

http://www.o-shinken.co.jp/benkyo/hensati/hensachi.htm

お礼

なるほど、これで計算式が書けそうです。
この表も役に立ちますね。

得点や平均点は必要ないんですね。
早速の解答ありがとうございました。

回答No.2

kgu-2

>学校のテストから偏差値を推定
学校での偏差値は、計算できますが、一般的な大学進学のための偏差値とは、全く別物でしょうから、役に立たないのでは。

　学校のテストに基づくと、その学校内だけでの偏差値になります。これを基にして、全国的な偏差値を推定することは困難というより、無理です。比較する集団が全く異なるからです。
　レベルの低い学校では、学校内の成績が正規分布をしていれば、学校内の偏差値が2番か3番の生徒が70になります。70あれば有名大学も合格するはずですが、現実には困難です。進学校といわれている高校なら、偏差値50、すなわちその高校でちょうど真ん中の成績でも、有名大学に進学できるでしょう。

　その学校内の偏差値では、進学のための偏差値に換算することは不可能です。
　その学校の10番の生徒は、偏差値60の大学が合格したので、10番だと偏差値60、というふうにデータを集めた方が現実的です。

　いいかえると、偏差値を計算するには、全国規模のテストでないと、数値は出せても、進学の役にはたちません。

補足

説明不足だったかもしれませんが中学校対象にしているもので、大学受験とは状況が異なります。

母集団が異なれば、偏差値の指すレベルも違ってくるというのは承知しております。ただ、中学校はすべてのレベルの子が集まるので、学校内の偏差値といってもそれなりの指標になると考えています。
地域の関係上中学生対象の模擬試験もそれほど多くないため、定期テストを利用できないかというのがそもそもの始まりです。
中学校では通知表も絶対評価となり、なかなか信頼できる評価基準がありませんから。

説明不足はあったと思いますが、質問そのものに意味がないとする回答はこのサイトの趣旨とも違うと思いますし、受けるほうとしても気持ちにいいものではありません。