３項間漸化式

質問

３項間漸化式

a(1)=1,a(2)=2,3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0(n=1,2,3,...)で定義される数列を{a(n)}とするとき、次の問いに答えよ
壱,a(n+2)=a(n+1)+2a(n)をa(n+2)-αa(n+1)=β<a(n+1)-αa(n)>と変形するとき、係数α,βの値を求めよ
弐,a(n)をnの式で表せ

という問題で、(1)は出来たのですが、(2)の途中からがわかりません。

壱は、α=-1,β=2　,　α=2,β=-1　が答えになります

弐
α=-1,β=2とすると、
a(n+2)+a(n+1)=2<a(n+1)+a(n)>
a(2)+a(1)=2　←この部分が何故こうなるかがわかりません。
以下略

右辺の<>の部分で左辺を割ったのですか・・・？
形が似ているからなんとなく、そう思うのですが、不安です。

そもそも、a(1)=1,a(2)=2　だから、これって成り立たないのではないのですか？

教えてください。

回答No.3

lialhyd · ベストアンサー

{a(n+1)+a(n)}を新しくb(n)とおくと、漸化式はb(n+1)=2b(n)となり、公比が2の等比数列ですよね。
で、もちろん初項b(1)がなければ一般項は決定できませんからb(1)を計算するわけです。

b(n)=a(n+1)+a(n)とおきましたので、両辺にn=1を代入すると
b(1)=a(1+1)+a(1)となり、求めることができますね。

a(n+2)+a(n+1)=2{a(n+1)+a(n)}を変形しているわけではありませんよ。

お礼

何度もありがとうございます

なるほど・・・！
目先の式にばっかり囚われてました。
難しい・・・。

まだちょっと確固としてませんが、多分整理しなおしたらわかるかな・・・？

ありがとうございました！

回答No.2

spring135

3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0とa(n+2)=a(n+1)+2a(n)の関係がわかりませんが正攻法で行きましょう。
3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0
ie
a(n+2)-4a(n+1)/3+a(n)/3=0　　(1)
の特性方程式
t^2-4t/3+1/3=0の解をα,βとすると
(1)は
a(n+2)-(α+β)a(n+1)+αβa(n)=0　(2)
(4/3=α+β, 1/3=αβと思えばよい）
このとき
(2)は
a(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))
=β^n(a(2)-αa(1))　　(3)
同様に
a(n+2)-βa(n+1)=α^n(a(2)-βa(1))　　(4)
(3)*β-(4)*αより（*は×）
(β-α)a(n+2)=β^(n+1)(a(2)-αa(1))-α^(n+1)(a(2)-βa(1))　　
よってβ≠αならば
a(n)=(β^(n-1)(a(2)-αa(1))-α^(n-1)(a(2)-βa(1)))/(β-α)　　
QED

補足

a(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))
=β^n(a(2)-αa(1))　　(3)　←ココの部分がよくわかりません

左辺も右辺も一緒にn乗しないと駄目なのではないのですか？
それとも、両辺をn乗した結果、二行目の状態になったのでしょうか？

大前提なことかもしれませんがすみません教えてください。

回答No.1

lialhyd

いや、なんか誤植とかじゃないかなぁ？

普通は壱を利用して　b(n)=a(n+1)+a(n)、c(n)=a(n+1)-2a(n)の置き換えを行い、{b(n)}と{c(n)}を等比数列として決定しますよね。
a(2)+a(1)はb(1)ですから、正しくは3だと思います。

補足

んん・・・っと、置き換えをしたらどういうになっていくのでしょうか？
教えていただけるとありがたいです。

a(2)+a(1)=3　が正しいというのはわかったのですが、
a(n+2)+a(n+1)=2<a(n+1)+a(n)>　が、どうしたら
a(2)+a(1)　になるのかがよくわかりません・・

a(n)で両辺を割る・・・もしくは引いたらいいのでしょうか？
でもそうしたら、
a(2)+a(1)=2<a(1)+0>　になってしまいません？
これの計算方法っていまいちよくわからなくって・・・
教えてください