線形代数 三角形の行列式

質問

専門の本を読んでいるとき、下記のような説明がなされていました。
この説明の中で分からない点があるのでこのたび質問させていただきました。
何卒よろしくお願いします。

（１）
三角形の各頂点をP1(x1,y1),P2(x2,y2),,P3(x3,y3),としたとき、
三角形の面積は次の行列式で与えられる。

│1 x1 y1│
│1 x2 y2│
│1 x3 y3│

(x,yの横の数字は添え字)

このとき、行列式の1,2,3行目は
それぞれ三角形の各頂点P1(x1,y1),P2(x2,y2),,P3(x3,y3),に対応している

（2）
（1）において、P1、P2、P3の並び順、
P1→P2→P3の向きが三角形の周を反時計回りに回る向きなら、
行列式の値は必ず非負となる

（1）については数学の授業で習ったので理解できるのですが、（2）がなぜ成り立つのかわかりません。

よろしければご教示ください

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(1)
> 三角形の各頂点をP1(x1,y1),P2(x2,y2),,P3(x3,y3),としたとき、
> 三角形の面積は次の行列式で与えられる。
三角形の面積の２倍の面積（平行四辺形の面積）がお書きの行列式で
与えられると思いますが、違いますか？
あなたの手元の専門の本で確認してみて下さい。

(2)
>P1、P2、P3の並び順、
>P1→P2→P3の向きが三角形の周を反時計回りに回る向きなら、
>行列式の値は必ず非負となる。
こう覚えておくしかないですね。

三角形の頂点をP1=A,P2=B,P3=Cと名前を付け替えると
(PQ↑をPからQに向かうベクトル等と表記することにする）
AB↑=(x2-x1,y2-y1),AC↑=(x3-x1,y3-y1)となり、
(AB↑)と(AC↑)の外積は(AB↑)を基準にして(AC↑)をみたとき、反時計回りに測った角をθとすると
外積：(AB↑)×(AC↑)=AB*AC*sinθ=2(△ABCの面積)
=(x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)
ここまでは、高校の数学の範囲かと思います。
このAC↑の角が時計回りの方向にあれば、-θとなって
sin(-θ)＝-sinθ
とマイナス符号が外積につきますので非負ではなく非正となります。
高校数学では、このような考え方で外積の符号の理解をすれば良いでしょう。

しかし、大学では、外積はベクトルとベクトルの積で積の大きさは高校の数学と同じですが、ベクトル積はベクトルとして定義されており、ベクトルの方向は(AB↑)を(AC↑)に重ねる方向に回転させたとき、右ネジが進む方向と定められています（右手系の座標系）。逆に回転させれば、ベクトルの向きが逆になります。このベクトルの向きが逆になる（ベクトルに-1を掛けることを意味する）。

ベクトル積をベクトルとして定義する考え方は、大学で習いますのでそれまで楽しみにとっておいて、高校では、高校数学での外積の定義で考えて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます！
(1)については写し間違えたようです。
平行四辺形の面積になっていました。
ご指摘ありがとうございます。

(2)はわかりやすい回答をしていただき、ありがとうございます、
お陰様で理解することができました。

ご多忙の折、大変丁寧な回答をしていただき、ありがとうございました。
大学に向けて頑張っていこうと思います。

それでは、また機会があればその際はよろしくお願いします