線形代数についての質問です

質問

外積
P1×P2=(y1z2-y2z1)e+(z1x2-z2x1)+(x1y2-x2y1)g　となることを利用して

a×(b×c)=(a・c)-(a・b)cを示しなさい。の問題がわかりません。

親切に教えていただけると幸いです。よろしくお願いします！

回答No.2

yyssaa

質問は、
外積
P1×P2=(y1z2-y2z1)e+(z1x2-z2x1)f+(x1y2-x2y1)g　となることを利用して
a×(b×c)=(a・c)b-(a・b)cを示しなさい。ですね？
であれば、以下の通りです。
＞
P3=x3e+y3f+z3gとすると
P3×P1×P2={y3(x1y2-x2y1)-(z1x2-z2x1)z3}e
+{z3(y1z2-y2z1)-(x1y2-x2y1)x3}f
+{x3(z1x2-z2x1)-(y1z2-y2z1)y3}g
=(x1y2y3+x1z2z3)e-(x2y1y3+x2z1z3)e
+(y1z2z3+y1x2x3)f-(y2z1z3+y2x1x3)f
+(z1x2x3+z1y2y3)g-(z2x1x3+z2y1y3)g
一方
(P3・P2)P1=(x2x3+y2y3+z2z3)(x1e+y1f+z1g)
(P3・P1)P2=(x1x3+y1y3+z1z3)(x2e+y2f+z2g)
よって
(P3・P2)P1-(P3・P1)P2
=(x1y2y3+x1z2z3-x2y1y3-x2z1z3)e
+(y1x2x3+y1z2z3-y2x1x3-y2z1z3)f
+(z1x2x3+z1y2y3-z2x1x3-z2y1y3)g
以上からP3をa、P1をb、P2をcにそれぞれ読み替えれば
a×(b×c)=(a・c)b-(a・b)cとなります。

回答No.1

178-tall

外積　P1×P2 = (y1z2-y2z1)e + (z1x2-z2x1)f + (x1y2-x2y1)g
をそのまま利用 (テキスト・エディタにて置換操作！) すると…。

b×c = (ybzc-yczb)e + (zbxc-zcxb)f + (xbyc-xcyb)g

a×(b×c) の
e 成分は、ya(xbyc-xcyb) - za(zbxc-zcxb)
　　　　 = (yaxbyc + zazcxb) - (yaxcyb + zazbxc)
　　　　 = (yayc + zazc)xb - (yayb + zazb)xc
　　　　 = (xaxc + yayc + zazc)xb - (xaxb + yayb + zazb)xc
これは、(a・c)b-(a・b)c の e 成分。

f, g 成分も同様。

なんというズボラな証明…。