高校数学の行列です
A=(a,b,c,d)(行列で順に左上、右上、左下、右下の順)(a,b,c,d∈R),A≠kE(k∈R),A≠Oとする (1)Aの固有値λと固有ベクトル↑xが存在する条件はλが固有方程式λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0(1)の解であることを証明せよ
(2)(1)が異なる実数の固有値(λ=)α、βをもつとき、それらに対する固有ベクトル
(↑x=)↑x1,↑x2は1次独立であることを証明せよ
(3)特にb=cのとき、(2)において↑x1⊥↑x2であることを証明せよ
(1)はA↑x=λ↑x,↑x≠↑0(⇔A↑x//↑x(広義平行),↑x≠0)
⇔(A-λE)↑x=↑0,↑x≠↑0
⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)
⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0
⇔λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0
となっていたのですが
⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)ここまでは分かりましたが、
この次の⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0これは何で言えるんですか？
(x,y)は0では無いですが、行列って互いに0でなくても掛けたら0になることはありますよね、それに0になったとしてもdetも0になるんですか？
(2),(3)は解説を読むと分かって参考のようにして ケーリーハミルトンの定理
A^2-(α+β)A+αβE=Oが成り立つから↑0でない任意の平面ベクトル↑xに対して
A(A↑x-β↑x)=α(A↑x-β↑x)
A(A↑x-α↑x)=β(A↑x-α↑x)
よって(A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2とあったのですが
(A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2が何故成り立つのか分かりません
その後すなわち行列(A-βE),(A-αE)によって任意のベクトル↑xはそれぞれα、
βの固有ベクトル↑x1,↑x2にへ行くなベクトルに変換されるとあったのですが、これも何の事か良くわからないのですが、詳しい説明をよろしくお願いします
(注)として行列Aが固有値α、β(α≠β)と固有ベクトル↑x1,↑x2をもつ場合、平面上の任意のベクトル↑xを↑x1,↑x2に平行なそれぞれのベクトル↑p,↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする
このとき、行列P=1/(α-β)×(A-βE),Q=１/（β-α)×(A-αE)はそれぞれ↑xを↑x1,↑x2上へ平行射影する1次変換である
すなわち P↑x=↑p,Q↑x=↑q
特に行列Aが対称行列のときP,Qは正射影の行列になるとあるのですが
↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする までは分かりますが、この後の説明
がさっぱりわかりません、詳しくお願いします
お礼
理解できました。 ご回答有難うございます!!