線形代数：2次形式の標準形について

質問

下記の実2次形式の標準形を求める問題ですが、何回やっても解答と合いません。解答が間違ってるのでしょうか？

実2次形式　x1*x2+x2*x3+x3*x1

解答はy1^2-y2^2-y3^2となってますが、係数行列の固有値がλ=1,-1/2
となることから、y1^2-y2^2-y3^2の形にはならない気がするのですが・・・。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

確認ですが、係数行列は対称ですか？。

　固有値が正しいとして、1に属する2本の固有ベクトルと、-1/2に属する固有ベクトルは直交していますか？
（1に属する固有ベクトルどうしは、非直交でもかまわないはずですが、ふつうは直交するように取ります）

　これらが全部満たされるのであれば、やっぱり解答の誤植と思えます。

補足

>>確認ですが、係数行列は対称ですか？
実2次形式　x1*x2+x2*x3+x3*x1から、係数行列が対角成分が全部0、その他の成分は全部1/2となりますので、対称行列です。

>>固有値が正しいとして、1に属する2本の固有ベクトルと、-1/2に属する固有ベクトルは直交していますか？

すみません。先ほど、λ=1の方を重解と書きましたが、λ=-1/2の方の間違いでした。固有空間も調べてみましたが、V(1)=｛c(1,1,1)|cは任意｝、V(-1/2)={d(-1,0,1)+e(-1,1,0)|d,eは任意}となり、V(1)⊥V(-1/2)となっていました。やはり解答は誤植のようですね。助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

私も、標準形は一つだと思います。

＞係数行列の固有値がλ=1,-1/2
　もともとの2次形式が、
　　x1*x2+x2*x3+x3*x1

なので、係数行列は3次だと思うのですが、λ=1,-1/2では、固有値が一個足りません（誤植？）。そこでλ=1，-1，-1/2だとすれば、
　　y1^2-y2^2-y3^2/2

だと思います。今度は解答の誤植？。

補足

説明不足ですみません。固有値はλ=1(重解)，-1/2なので、固有値は重複も含めて3つあります。この計算は何回も確認してるので、間違いないと思います。となると、y1^2+y2^2-y3^2/2となり、やはり解答が誤植ということになるんでしょうか？解答が正しいとすれば、固有値λ=1,-1,-1の組み合わせしか考えられませんし・・・。

回答No.1

Tacosan

ちょっと調べてみたんですが, 標準形の定義もいろいろあるようですね.
Σ a_i x_i^2
という形であったり
Σ x_i^2 - Σ y_i^2
という形 (つまり上の式で a_i が ±1 に限定される特殊な場合) であったりと.

補足

実2次形式の標準形の定義は1つしかないと思うんですが・・・。