写像の証明問題を教科書の定理、定義を組み合わせながらやっていたのですが

質問

写像の証明問題を教科書の定理、定義を組み合わせながらやっていたのですがうまく出来ません。
どなたか次の問題の証明過程を教えてください。

ｆ:A→B, g:B→Aをともに全単射とすれば、g。f （gとfの合成写像）: A→Cも全単射である。
このとき、（g。f）＾-1 (gとfの合成写像のインバース)＝f^-1。g^1（fのインバースとgのインバースの合成写像）であることを示せです。

お願いします。

回答No.3

OKXavier · ベストアンサー

f:A→B
　x→y
g:B→C
　y→z

で、Cの任意の要素zを、２つの写像
(g。f)^-1
f^-1。g^-1
で写してみて、結果が同じことを示せばいい。

(g。f)^-1(z)=x
f^-1。g^-1(z)=(f^-1(g^-1))(z)=f^-1(y)=x

お礼

わかりやすい説明で理解することができました。
ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

z = (g。f)^-1(y) に y = g。f(x) を代入すれば、
z = f^-1(g^-1(y)),　y = g(f(x)) より、
z = f^-1(g^-1(g(f(x)))) = f^-1(f(x)) = x。
それって、つまり
(g。f)^-1(y) = f^-1。g^-1(y) ってことだ。

お礼

回答ありがとうございます。
説明ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

全部聞こうとするんじゃなくって, 「自分ではここまで考えたんだけど」ってのがあるといいね.
この命題に関していえば, 「あれがこれになってこれがそれになって, だから戻すとそれがあれになって確かに等しいね」で終わり.

お礼

回答ありがとうございます。
次回から解けたところまで記載するようにします。