数学：縦線形集合の問題です

質問

集合の問題です。

縦線形集合
D＝{(x,y)∈R²|∅₁(x)≦y≦∅₂(x), a≦x≦b}
ここで∅₁,∅₂は有界閉区間[a,b]で連続で∅₁(x)≦y≦∅₂(x)（a≦x≦b）であると仮定されている。
この時集合DはＲ²の有界閉集合となる事を示せ。

という問題が解けずに困っています。
解答例や解答のヒントが分かる方がいましたら教えて頂きたいです。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

まずDが有界であることは、有界閉区間上の実数値連続関数が最大値、最小値を取る事から分かる。

Dが閉集合である事をいうには、一つの方法としてDの補集合が開集合である事を言えばよく、それにはDに属さない任意の点(s,t)を取った時、(s,t)を含むある開球があって、その開球とDとに交わりが無い事を言えば良い。一つの方針として、

1. s<aの場合
2. s>bの場合
3. a≦s≦b, t<∅₁(s)の場合
4. a≦s≦b, t>∅₂(s)の場合

に分けて、それぞれの場合について示す、というやり方がある。3と4で、∅₁(s), ∅₂(s)が連続である事を使う。