ベッセル関数の積分

質問

ベッセル関数について質問です。
∫（0→a）r^3(J0(kr))^2dr（J0が0次のベッセル関数です）
この積分はどうなりますか？

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

定積分 I は
　　　I = ( a^4/6 )*[ J0(k*a)^2 + 2*J0(k*a)*J1(k*a)/(k*a) + { 1 - 2/(k*a)^2 }*J1(k*a) ]
となります（J0は0次ベッセル関数、J1は1次ベッセル関数）。I/a^4 は k*a だけの関数で、 k*a に対する I/a^4 のグラフは添付図のようになります。k*a << 1 のとき I/a^4 ≒ 1/4、1 << k*a のとき I/a^4 ≒ 1/( 10*k*a ) と近似できます。

I/a^4 はExcelでも計算できます（ただし、アドインの「分析ツール」を有効にしないとベッセル関数が使えません）。Excelの計算式は
　　　=( BESSELJ(z,0)^2 + 2/z*BESSELJ(z,0)*BESSELJ(z,1) + (1-2/z^2)*BESSELJ(z,1)^2 )/6
です。z のところを k*a の値としてください。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

inara1

数式処理ソフトでは
　　F(r,k) = ∫r^3*J(0,k*r)^2 dr
　　　　　 = (1/6)*(r^2/k^2)*( r^2*k^2*BesselJ(0,k*r)^2 + 2*r*k*BesselJ(0,k*r)*BesselJ(1,k*r) - 2*BesselJ(1,k*r)^2 + r^2*k^2*BesselJ(1,k*r)^2 )
となりました。BesselJ(n, ) はn次のベッセル関数（第一種）です。問題の定積分は F(a,k) - F(0,k) になります。