ベッセル関数って、

質問

大学生です。
最近、勉強していると、振動の分野で「ベッセル関数」なるものが現れました。
振動の分野は全く専門外で、突然ベッセル関数を使われて、こまってます。
また、やさしく説明してくれる本も、探してますが、あまり時間がありません。
　この「ベッセル関数」は、
　　　いったいどんな関数で、
　　　この関数をなぜ使うのか？
　　　この関数を使うと、何が出てくるのか、
　　　この関数は何を意味しているのか、
　教えてください。
（ちなみに、円筒形の固有振動数を求める式でベッセル関数が出てきました。）

回答No.2

Umada · ベストアンサー

chestnutさん、改めましてこんにちは。
さてBessel関数J_n(x)の次数n、これはモードと関係はするのですが関係の仕方がちょっと複雑です。

2次元円形膜の振動はご承知のように、半径方向の関数R(r)と角度方向の関数Θ(θ)に変数分離をして解きますが、R(r)とΘ(θ)のモードはバラバラに決めてよいわけでないのです。
角度方向の関数は
1(定数)・・・0次　角度方向はどこでも同じ値
sin θ・・・1次　角度方向に一周くるりと回ると、節が二つある
sin 2θ・・・2次　角度方向に一周くるりと回ると、節が四つある
sin 3θ・・・3次　角度方向に一周くるりと回ると、節が六つある
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となるわけですが、角度方向が0次の振動の場合、半径方向の関数R(r)は、0次のBessel関数J_0(x)と自動的に決まります*。
ただし関数のグラフを見て既にお分かりのように、J_0(x)=0となるようなx(=振動の節となる点)は無数に存在しますから、それらのどれを膜の境界に合わせるか(合うか)によって半径方向にも多くのモードが存在することがお分かり頂けると思います。
同様に角度方向が1次の振動の場合は、半径方向の関数R(r)は、1次のBessel関数J_1(x)と決まります。この場合も同様に、J_1(x)=0となるようなxは無数に存在し、モードも無数にあることになります。
すなわち2次元円形膜の振動のモードは、
(1)角度方向の次数nと、
(2)それにより決まるBessel関数J_n(x)で、J_n(x)=0となるxのどれが境界に当たるかによって決まる次数m
の二つで特定されます。

http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~minobe/mth2ex/
の一番下に「1999講義ノート」というリンクがあり、pdfでダウンロードできるようになっています。モードの図などもあり大変分かりやすいので参考にされると良いと思います。70ページある大作ですが、そのうちの54ページ辺りから読んでみてください。

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*角度方向の次数と、Bessel関数の次数を無関係に決められないことは以下のように考えるとすぐ分かります。
2次元円形膜の振動を考え、仮に例えば半径方向の関数がa×J_0(x)、すなわちnに関し0次で、角度方向の関数がsin θ(n=1)だとします(aはある定数)。xは正規化半径に相当します。J_0(x)はx=0で有限のある正の値をとることに注意。
次に0よりわずかに大きい正の値δを考え、θ=0の点とθ=πの点とで位相を含めて振幅を比較します。x=δ、θ=0の点で振幅はa×J_0(δ)、x=δ、θ=πの点では位相がπだけ反転しますから振幅は-a×J_0(δ)になります。δはどんどん0に近づけて構わないわけですが、そうするとθ=0の側から膜の中心に近づいた場合とθ=πの側から近づいた場合では、膜の中心において振幅の不連続が発生することになります。これは直感的にもおかしいことが分かります。
J_0(x)は角度方向の関数が定数である場合(角度方向の次数も0)にのみ当てはまる、というわけです。

お礼

まことにありがとうございました。
勉強いたします。
ほんとにありがとう！！！！！！

回答No.1

Umada

1次元の棒や弦の振動に関する微分方程式を解いた時、最後にその振動の様子を表すのにサインやコサインを使いますよね。

2次元の膜(縁が円であるもの)の振動も同様のやり方で解けてその振動の様子も表せるはずなんですが、サインやコサインでは表せないため、サインやコサインの代わりにBessel関数を使います。コサインやサインと同じように変数の変化につれて振動する関数ですが、振動の周期や振幅がだんだんと変化するところが違います。

なぜこんな関数と持ち出すのか?　もちろんサインやコサインで用が足りればそちらの方が助かるのですが、2次元の円膜や円筒の振動はこの関数を使わないと表現できないからです。(むしろ、円膜の振動を解いた時に必然的に行き当たるこの一連の関数をBessel関数と名付けたという方が当たっていそうです)
この関数のグラフは下記のページなどでごらんください。数式とにらめっこするよりグラフを見た方が早いです。

定義式についてはちょっとここで書くのは大変なので、微分方程式の教科書か理化学辞典などをご覧下さい。

「関数美術館」
http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-PaloAlto/4076/scilab/art/

「gnuplotで描いたサンプル」
http://funada11.denshi.numazu-ct.ac.jp/sei/sotsuken/samples/samples.html

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-PaloAlto/4076/scilab/art/, http://funada11.denshi.numazu-ct.ac.jp/sei/sotsuken/

お礼

ありがとうございました。
本当に助かりました。

もうひとつだけ、いいでしょうか。
このいくつかの条件があるようですが、
これは虚数か何か関係しているのでしょうか。

振動の「モード」に当たるようなものでしょうか？
よければ、教えていただけませんか？

簡単に書いてある本が見つけられず、本当に助かりました。
理解して勉強を進められそうです。ありがとうございました。