平面波exp(-jx)をベッセル関数を用いてあらわすと・・・

質問

円筒波動関数について勉強しています。
今、平面波exp(-jx)を円筒座標系で表そうとしているのですが、その変換式が
Σa*Jn(ρ)*exp(jnΦ)　(Σはn=-∞～n=∞まで)と表されています。
aは定数、Jn(ρ)はn次の第一種ベッセル関数、ρは円筒座標系の原点から外に伸びていく変数、Φは円筒座標系のxy面上の角度
この式について、わからないことがあります。
なぜこの式がx方向に進む平面波を表すのでしょうか？定性的なことが理解できません。
しかも第一種ベッセル関数は進行波でないのに進行波をあらわしている。
このこともさらに混乱を深めています。
どのように理解すればよいのでしょうか？
あまりベッセル関数に関する知識がないのでできれば優しくおねがしします。
勉強している本はR.F.Harringtonのtime-harmonic electromagnetic fields
です。

回答No.3

spinflip

Jn(ρ)は実関数なので、確かに流れの密度はゼロになってしまい、
進行波ではありません。波動関数を振幅と位相にわけて、ψ=|A|exp(-iS/hbar)
とすると、流れベクトルJの定義は、
J=A^2∇S／m
ですから、流れの密度が有限になるためには、位相部分に座標依存性が無いと
いけません。ベッセル関数は、x→∞で～sin(x)/xですから、
ベッセル関数だけではどうしても進行波になりません。
位相部分のexp(inΦ)の中の曲座標Φが、x＝ρ・cosΦのように座標依存性
を持っているために、流れの密度が生じるというわけです。位相部分が
完全に定数でも∇S＝0ですからダメで、何がしかの座標を含む必要が
あります。

ただ、良く考えると、質問者の方はここまでは判っていらっしゃる
のだと思います。問題は、exp(inΦ)が波として、ρと直交した方向に
ゆらゆらしているのに、どうしてnで和をとると、ρと並行方向に
進む平面波になってしまうかということですよね。（ここから自信なし）

それは、ρの方向は、あくまで原点を中心とした放射状の方向ですので、
デカルト座標を重ねてみると、下図の左側のデカルト座標に沿って
動けば、位相がずれることが判ります。(真中の線は、曲座標とぴったり
重なるので、動いても位相は不変)。ですから、うまく係数をつけて
足し合わせると、縦方向に進む平面波を作れるのだと思います。
｜｜｜　　　　　　＼｜／
デカルト　　　　　極座標

お礼

お返事おくれました。ありがとうございます。
いわれてみればそうですね、なれないベッセル関数に接して混乱してたような木がします。
今、球ベッセルで同様の考え方を持ち込んでいるのですが、定性的な理解はできたと思います。

回答No.2

mmky

参考まで
周波数変調の原理
http://lib1.nippon-foundation.or.jp/1997/1208/contents/106.htm

回答No.1

mmky

参考まで
ベッセル関数の研究が進んだのはFM変調の研究からと言われています。
平面波exp(-jx)はｘ、ｙ座標ですね。これをR,θ　座標に変換するという
ことですから、ｘによるｙの変位を位相とR(P)に変換するのですね。
例えば、ｙ＝sinx と置き、x=rcosθ　と置換するとY＝sin(rcosθ)
になりますね。
このYを位相変調とか周波数変調というのですね。
そして、このYは第一種ベッセル関数で表示されるのです。
ということで、第一種ベッセル関数は進行波を表すのです。
参考まで