ベッセル関数について

質問

ベッセル関数には種類がたくさんありますが、リカッチ・ベッセル関数とは何にあたりますか。

例えば、

リカッチ・ベッセル関数 An(x),Bn(x)

とはどのように求めるのでしょうか。

頭が足らず、ネットや本で見ても理解出来ませんでした。
よろしくお願い致します。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

微分方程式
(x^2)y"+xy'+(x^2-α^2)y=0
をベッセルの微分方程式という。
積分
Γ(t)=∫_{0～∞}(x^t)e^{-x}dx
で定義される関数をガンマ関数という。
αが負の整数でない時
J(α,x)=Σ_{m=0～∞}[(-1)^m/{m!Γ(m+α+1)}](x/2)^{2m+α}
で定義される関数はベッセルの微分方程式の解であって
これを第1種ベッセル関数という。
c1,c2を任意定数として、
n+1/2が整数でない時,
x≧0
A_n(x)=(√x){(c1)J(n+1/2,x)+(c2)J(-n-1/2,x)}
で定義される関数は
微分方程式
x^2y"+{x^2-n(n+1)}y=0
の解であって
リカッチ-ベッセル関数という

例1)
c1=√(π/2)
c2=0
とすると
A_n(x)={√(πx/2)}J(n+1/2,x)

例2)
c1=0
c2=-√(π/2)
とすると
B_n(x)={-√(πx/2)}J(-n-1/2,x)

補足

詳しくかつわかりやすい解説ありがとうございます。

c1とc2は任意の定数とありますが、

「An(x),Bn(x)はRicatti-Bessel関数である」と文章に書いてあり、任意の定数に触れられていない場合、一般的にc1,c2は何になりますか。

回答No.2

jcpmutura

一般的には
c1=√(π/2)
c2=0
のとき
A_n(x)=S_n(x)={√(πx/2)}J(n+1/2,x)

c1=0
c2=-√(π/2)
のとき
A_n(x)=C_n(x)={-√(πx/2)}J(-n-1/2,x)
になります

複素数の範囲に拡張すると
iを虚数単位とすると
c1=√(π/2)
c2=i√(π/2)
のとき
A_n(x)=ξ_n(x)={√(πx/2)}{J(n+1/2,x)+iJ(-n-1/2,x)}

c1=√(π/2)
c2=-i√(π/2)
のとき
A_n(x)=ζ_n(x)={√(πx/2)}{J(n+1/2,x)-iJ(-n-1/2,x)}
になります

お礼

ありがとうございました！