数学Ａ 反復試行の確率

質問

こんばんは。

数直線とサイコロの問題で、

原点にある点Ｐは、４以下の目が出ると＋２進み、５以上の目が出ると
－１すすむ問題で、サイコロを４回投げた時に、Ｐの座標ｐが
ｐ＝２になるとき、

４以下の目が出る回数をｘ、５以上の目が出る回数をｙとおくと、

２ｘ－ｙ＝２　
　ｘ＋ｙ＝４　　を連立して　ｘ＝２、ｙ＝２　が出るので

（４／６）＾２・（２／６）＾２　と解いたのですが、
これは反復試行の確率の公式（？）で、
４Ｃ２・（４／６）＾２・（２／６）＾２　と解けるようです。

４Ｃ２がつく理由がよくわからないので、反復試行の確率
ｎＣｒ・ｐ＾ｒ・ｑ＾ｎーｒ　（ｑ＝１－ｐ）
が成り立つ理由を教えて下さい。
お願いします。

回答No.3

Crowly · ベストアンサー

回答させていただきますね。
4C2がつく理由ですが、この問題の場合、
「4以下の目と5以上の目が出る順番は問わない」
ということがポイントになります。
ですから、4以下の目が出るのをA、5以上の目が出るのをBとおくと、
AABB、ABAB、BBAA、ABBA……
など出る順番を問わないわけですね。
また、試行回数は4回ですから、4回中2回Aが出れば(Bが出れば)良いわけです。
すると、並び順を問わないので4C2でよくなるわけです。
分かりにくいかも知れないので、詳しく説明させていただきますね。
まず、4回試し、そのうち2回Aが出るので4P2となります。ですが、この時はAとBの順番が違うのも別物として扱っているので、並び順を無視できる式に変えなくてはいけません。
そのため、4!で割ります。
すると、4P2/4!=4C2となるのです。
残りの(6/4)^2*(2/6)^2ですが、その部分は
Aが出る確率^回数*Bが出る確率^回数
の意味です。仮にABABの順に出たとするとAが出る確率とBが出る確率を使って表せば
ABAB=4/6*2/6*4/6*2/6
ですね。これは並び順を無視してよいので、
ABAB=4/6*4/6*2/6*2/6=(4/6)^2*(2/6)^2
として表せるのです。

お礼

４Ｐ２を２！でわると考えたら、４Ｃ２の意味が分かりました。４Ｐ２をたてて、その順列を無視しなければならないので２！でわって、
４Ｃ２＊（４／６）＾２＊（２／６）＾２　　になるのですね。

分かりやすく丁寧に教えて下さってありがとうございました☆

回答No.4

kkkk2222

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　位置が、(+2)*4＋(-1)*0=(＋８)のとき、
　　(2/3)(2/3)(2/3)(2/3)、Ｃ［4,4］=1通りで、
　　　　　　その確率は、16/81
　位置が、(+2)*3＋(-1)*1=(＋５)のとき、
　　(1/3)(2/3)(2/3)(2/3)、Ｃ［4,3］=4通りで、
　　　　　　その確率は、32/81
　位置が、(+2)*2＋(-1)*2=(＋２)のとき、
　　(1/3)(1/3)(2/3)(2/3)、Ｃ［4,2］=6通りで、
　　　　　　その確率は、24/81
　位置が、(+2)*1＋(-1)*3=(－１)のとき、
　　(1/3)(1/3)(１/3)(2/3)、Ｃ［4,1］=4通りで、
　　　　　　その確率は、8/81
　位置が、(+2)*0＋(-1)*4=(ー４)のとき、
　　(1/3)(1/3)(１/3)(1/3)、Ｃ［4,1］=１通りで、
　　　　　　その確率は、1/81
検算として、２４／８１＝８／２７
(16/81)+(32/81)+(24/81)+(8/81)+(1/81)=(81/81)
求める解は、２４／８１＝８／２７

＞＞４Ｃ２・（４／６）＾２・（２／６）＾２
良いですね。

＞＞４Ｃ２がつく理由が・・・。
＞＞ｎＣｒ・ｐ＾ｒ・ｑ＾ｎーｒ　（ｑ＝１－ｐ）。
上記で大体判ってモラエルかと。

と思ったら、もう理解済みのようで。
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回答No.2

ymmasayan

No.1さんの言われるとおりです。
４回のうち２回起こると言うのは４Ｃ２ですね。

お礼

やっと分かりました!!ありがとうございました☆

回答No.1

koko_u_

公式とか知らんけど、4以下の目が2回出るのと、5以上の目が2回出る「順序」を忘れているだけだと思います。

お礼

１回目～４回目の何回目と何回目にでるか、そこを区別するのを忘れてました。もっと勉強したいと思います。