確率の問題

質問

表が出る確率がｐであるコインをｎ回投げる試行を考える（n>=2）.次の問に答えよ
（１）ｎがｋの倍数であると仮定する。ｊｋ＋１回目から（ｊ＋１）ｋ回目までの間に一回以上裏が出るという事項をAｊで表す（ｊ＝１，２,....n/k）
についてAｊの起こる確率P(Aj)を求めよ。

（２）ｎがｋの倍数であると仮定する。少なくとも１つのｊ＝１，.....,n/kについてAｊが起こる事項をBで表す。Bの起こる確率P（B）を求めよ。

（３）nがｋの倍数であると仮定する。ｎ回の試行の中に、ｋ回連続して表が出る箇所がどこにも存在しないという事項をAで表す。Aが起こる確率P（A）とP（B）はどちらが大きいか？

（４）ｎを無限大にする時、ｎ回の試行の中に、ｋ回連続して表が出る箇所が存在する確率が１に収束することを示せ。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

ところどころに「事項」とありますが、「事象」の間違いでしょうね。
j＝0,1,....,n/k-1　だとして、

(1)一回以上裏が出るということは、「すべて表」の余事象なので、
P(Aj)=1-p^k

(2)すべてのjでAjが起こらない事象の余事象なので、
P(B)=1-(1-P(A0))(1-P(A1))・・・(1-P(A[n/k-1]))=1-(p^k)^(n/k)=1-p^n

(3)k回連続して表が出る箇所がどこにも存在しなければ、n回をk回づつ分割した部分の中は少なくとも１つは裏が出ています。（逆は言えない）
よって、確率は、A(P)≦B(P)

(4)すべてのjでAjが起こる確率は、(1-p^k)^(n/k)
(3)と同じ考え方で、0≦A(P)≦(1-p^k)^(n/k)
0<1-p^k<1 なので（たぶん0<p<1という条件があるはずなんですが）、
lim[n→∞](1-p^k)^(n/k)=0
挟み撃ちの原理より、
lim[n→∞]P(A)=0
ｎ回の試行の中に、ｋ回連続して表が出る箇所が存在する確率は 1-P(A)なので、
lim[n→∞](1-P(A))=1

回答No.1

nag0720

ｊ＝１，２,....n/k

？？？
ｊ＝n/k　のときは、ｎ回を超えるんだけど。

あと、問題だけ書いてるけど自分の考えはないの？

補足

九州大学の過去ですが、私もそのところ理解できないです。
第一問は　ｐ（Ａｊ）＝１－（１－ｐ）＾ｋ

第２問は　ｐ（Ｂ）＝１－（１－ｐ）＾ｎ　と思いますが、正しいかどうか、どうぞよろしくお願いします。

第３問と第４問は分かりません。