数学 確率

質問

n,mを自然数（ｍ≦ｎ）とする。１枚の硬貨をｎ回投げるとき表がｍ回以上連続して出る確率をＰ(ｍ)とする。
（１）ｎ＝６のとき、Ｐ(５)およびＰ(４)を求めよ。
（２）ｎ≧６のとき、Ｐ(ｎ－３)を求めよ。 
（３）ｋを自然数とする。１≦ｋ≦ｎ/２のとき、
Ｐ(ｎ-ｋ)を求めよ。
という問題あるのですがよくわかりません。
説明してくださるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.10

ereserve67

ANo.1,2,3です．私が最初にミスしたのでいろいろな回答がついてしまいました．ご指摘ありがとうございます．さてどれが正しいのでしょう．

では再び回答します．方針はあまり変わりません．

n回投げるうち表がちょうどk回連続する確率をp_kとすると，

P(m)=Σ_{k=m}^np_k

となります．

今m≧n/2であるとしましょう．すると，k≧m≧n/2なのでn回のうち表がk回連続するのは1パターンのみです．そのパターンが，ｌ回目からl+k-1回目に表がでる場合の数を数えましょう．1≦l，l+k-1≦nより1≦l≦n-k+1です．

(1)l=1のとき：

1回～k回表，k+1回裏以外のn-k-1回は任意だから2^{n-k-1}通り

(2)2≦l≦n-k（したがってk≦n-2)のとき：

l-1回裏，l回～l+k-1回表，l+k回裏以外のn-k-2回は任意だから2^{n-k-2}通り
l=2,・・・,n-kのn-k-1通りをかけて(n-k-1)2^{n-k-2}通り

(3)l=n-k+1のとき：

n-k回裏,n-k+1回～n回表以外のn-k-1回は任意だから2^{n-k-1}通り

よってm≦k≦n-2のとき

p_k={2^{n-k-1}+(n-k-1)2^{n-k-2}+2^{n-k-1}}/2^n

=(n-k+3)2^{n-k-2}/2^n

=(n+3-k)/2^{k+2}

これはk=n-1の時も成り立ちます．k=nのときは当然

p_n=1/2^n

∴P(m)=Σ_{k=m}^{n-1}(n+3-k)/2^{k+2}+1/2^n

=(n+3)Σ_{k=m}^{n-1}(1/2^{k+2})-Σ_{k=m}^{n-1}(k/2^{k+2})+1/2^n

=(n+3)2^{-m-2}{(1-2^{-n+m})/(1-1/2)}-S+1/2^n

=(n+3)2^{-m-1}(1-2^{-n+m})-S+1/2^n

=(n+3)(2^{-m-1}-2^{-n-1})-S+1/2^n

ここで

S=Σ_{k=m}^{n-1}k/2^{k+2}

S/2=Σ_{k=m}^{n-1}k/2^{k+3}

=Σ_{k=m+1}^n(k-1)/2^{k+2}

=Σ_{k=m}^{n-1}(k-1)/2^{k+2}-(m-1)/2^{m+2}+(n-1)/2^{n+2}

S-S/2=(m-1)/2^{m+2}-(n-1)/2^{n+2}+Σ_{k=m}^{n-1}1/2^{k+2}

S/2=(m-1)/2^{m+2}-(n-1)/2^{n+2}+(1/2^{m+2}){(1-1/2^{n-m})/(1-1/2)}

=(m-1)/2^{m+2}-(n-1)/2^{n+2}+2^{-m-1}-2^{-n-1}

S=(m-1)/2^{m+1}-(n-1)/2^{n+1}+2^{-m}-2^{-n}

=(m+1)2^{-m-1}-(n+1)2^{-n-1}

よって

P(m)=(n+3)(2^{-m-1}-2^{-n-1})-(m+1)2^{-m-1}+(n+1)2^{-n-1}+2^{-n}

=(n+3-m-1)/2^{m+1}+(-n-3+n+1+2)/2^{n+1}

（☆）P(m)=(n-m+2)/2^{m+1}

これで一挙に解決します．

(1)5≧6/2，4≧6/2より

P(5)=(6-5+2)/2^6=3/64
P(4)=(6-4+2)/2^5=4/32=1/8

(2)n≧6より，n-3≧n/2だから，

P(n-3)=(n-(n-3)+2)/2^{n-3+1}=5/2^{n-2}

(3)1≦k≦n/2より，n≧2で，n-k≧n/2（k=1,2,・・・,[n/2]）だから

P(n-k)=(n-(n-k)+2)/2^{n-k+1}=(k+2)/2^{n-k+1}

回答No.9

yyssaa

回答No.8です。計算ミス訂正します。
訂正前：P(4)=6*(1/2)^6=1/32・・・答え
訂正後：P(4)=6*(1/2)^6=3/32・・・答え

回答No.8

yyssaa

表、裏が出る確率をそれぞれ1/2とする。
（１）ｎ＝６のとき、Ｐ(５)およびＰ(４)を求めよ。
6回中5回以上連続するのは1～5回(6回目は裏)、1～6回、2～6回
(1回目は裏)の3通り。
よって、P(5)=(1/2)^5*(1/2)+(1/2)^6+(1/2)*(1/2)^5
=3*(1/2)^6=3/64・・・答
同様に4回以上連続するのは14,15,16,25,26,36の6通りなので、
P(4)=6*(1/2)^6=1/32・・・答え
（２）ｎ≧６のとき、Ｐ(ｎ－３)を求めよ。
n回中(n-3)回以上連続するのは1～(n-3),(n-2),(n-1),nの4通り、
2～(n-2),(n-1),nの3通り、3～(n-1),nの2通り、4～nの1通りの
計10通りなので、P(n-3)=10*(1/2)^n
（３）ｋを自然数とする。１≦ｋ≦ｎ/２のとき、
Ｐ(ｎ-ｋ)を求めよ。
n回中(n-k)回以上連続するのは
1～(n-k),(n-k+1),(n-k+2),・・・・・・・・・・,nの(k＋1)通り、
2～(n-k+1),(n-k+2),(n-k+3),・・・・・・・・,nのk通り、
3～(n-k+2),(n-k+3),(n-k+4),・・・・・・・・,nの(k-1)通り、
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
i～(n-k+i-1),(n-k+i),(n-k+i+1),・・・・,nの(k-i+2)通り、
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
(k+1)～nの1通り、
以上合計∑(j=1→k+1)(k-j+2)=(k+1)(k+2)-∑(j=1→k+1)j
=(k+1)(k+2)-(k+1)(k+2)/2=(k+1)(k+2)/2通り。よって
P(n-k)={(k+1)(k+2)/2}(1/2)^n=(k+1)(k+2)(1/2)^(n+1)・・(答）

回答No.7

nag0720

＃６は、Σ[i=0～k]S(n-i)の計算が面倒だったので簡単な方法を。

m≧n/2のとき、P(m)の確率を、
１回目からm回以上連続する確率、
２回目からm回以上連続する確率、
３回目からm回以上連続する確率、
・・・・・・
n-m回目からm回以上連続する確率、
n-m+1回目からm回連続する確率、
に分けて求めると、

１回目からm回以上連続する確率は、
　　1～m回目は表、m+1～n回目は裏表どちらでもいいので、2^(n-m)/2^n = 1/2^m
２回目からm回以上連続する確率は、
　　1回目は裏、2～m+1回目は表、m+2～n回目は裏表どちらでもいいので、2^(n-m-1)/2^n = 1/2^(m+1)
３回目からm回以上連続する確率は、
　　2回目は裏、3～m+2回目は表、1回目とm+3～n回目は裏表どちらでもいいので、2 × 2^(n-m-2)/2^n = 1/2^(m+1)
３回目からm回以上連続する確率は、
　　3回目は裏、4～m+3回目は表、1～2回目とm+4～n回目は裏表どちらでもいいので、2^2 × 2^(n-m-3)/2^n = 1/2^(m+1)
・・・・・・
n-m回目からm回以上連続する確率は、
　　n-m-1回目は裏、n-m～n-1回目は表、1～n-m-2回目とn回目は裏表どちらでもいいので、2^(n-m-2)/2^n × 2 = 1/2^(m+1)
n-m+1回目からm回連続する確率は、
　　n-m回目は裏、n-m+1～n回目は表、1～n-m-1回目は裏表どちらでもいいので、2^(n-m-1)/2^n = 1/2^(m+1)

これらを合計すると、
P(m) = 1/2^m + (n-m)/2^(m+1) = (n-m+2)/2^(m+1)
よって、
P(n-k) = (k+2)/2^(n-k+1)

回答No.6

nag0720

１枚の硬貨をn回投げるとき表がちょうどｍ回連続して出る並びの数をS(m)とすると、
P(m)={S(n)+S(n-1)+S(n-2)+・・・・+S(m+1)+S(m)}/2^n

S(n-k)を求めると、
S(n)=1
S(n-1)からは、１回目またはn回目を含んで連続している場合、それ以外で連続している場合に分けて考えて、
連続している回は表、その直前直後の回は裏、それ以外の回は裏表どちらでもかまわないので、
S(n-1)=2*1+0=2
S(n-2)=2*2+1*1=5
S(n-3)=2*4+2*2=12
S(n-4)=2*8+3*4=28
一般形は、1≦k≦n/2のとき、
S(n-k)=2*2^(k-1)+(k-1)*2^(k-2)=(k+3)*2^(k-2)

詳しい計算式は省略しますが、
Σ[i=1～k](i+3)*2^(i-2)=(k+2)*2^(k-1)-1
となるので、
P(n-k)=Σ[i=0～k]S(n-i)/2^n
={S(n)+Σ[i=1～k]S(n-i)}/2^n
={1+(k+2)*2^(k-1)-1}/2^n
=(k+2)/2^(n-k+1)

（１）
P(5)=3/64
P(4)=4/32=1/8

（２）
P(n-3)=5/2^(n-2)

（３）
P(n-k)=(k+2)/2^(n-k+1)

回答No.5

genshisyounen

(2)はｎ≧６のとき、でした。
訂正します。
Ｐ(ｎ－３)=20/(2^n)

回答No.4

genshisyounen

ereserve67さん、横から口を出してすみません。
(3)はわかりませんが、Ｐ(４)とＰ(ｎ－３)は違っているような気がするのですが・・・。
Ｐ(４)で言えば、最初連続して４回表が出て、５回目に裏が出て、６回目に表が出るような場合を見落としているのでは？
(1)
６回投げる場合の全体の場合の数(順列)は、2^6=64
6回投げるとき表が5回以上連続して出る場合というのは、
6回連続して表が出る場合、5回連続して表が出て6回目に裏が出る場合、最初に裏が出てその後5回連続して表が出る場合の３通りだから、Ｐ(５)=3/64
6回投げるとき表が4回以上連続して出る場合というのは、
連続して6回表が出る場合　1
連続して5回表が出る場合 2
連続して4回表が出る場合 5
(連続して4回表が出る場合をAと一括りにすると
A裏裏,A裏表,裏A裏,裏裏A,表裏Aの５通り)
の合計1+2+5=8回なので、Ｐ(４)=8/64=1/8
(2)
Ｐ(ｎ－３)は
連続してn回表が出る場合　1
連続してn-1回表が出る場合 2
連続してn-2回表が出る場合 5
連続してn-3回表が出る場合 12
(連続してn-3回表が出る場合をAと一括りにすると
A裏裏裏,A裏表裏,A裏表表,A裏裏表,
裏A裏裏,裏A裏表,
裏裏A裏,表裏A裏,
裏裏裏A,裏表裏A,表裏裏A,表表裏Aの12通り)
の合計1+2+5+12=20回なので、Ｐ(ｎ－３)=20/64=5/16

回答No.3

ereserve67

ANo.1,2です．ある条件をつければよかったようです．

n回投げるうち表がちょうどk回連続する確率をp_kとすると，

P(m)=Σ_{k=m}^np_k

となります．

今m≧n/2であるとしましょう．すると，k≧m≧n/2なのでn回のうち表がk回連続するのは1パターンのみです．そのパターンが，ｌ回目からl+k-1回目に表がでる場合の確率は(1/2)^nです．1≦l，l+k-1≦nより1≦l≦n-k+1であるから，

p_k=(n-k+1)(1/2)^n=(n+1)/2^n-k/2^n

∴P(m)=Σ_{k=m}^n{(n+1)/2^n-k/2^n}

=(n+1)/2^nΣ_{k=m}^n1-(Σ_{k=m}^nk)/2^n

=(n+1)(n-m+1)/2^n-(1/2)(n-m+1)(m+n)/2^n

={(2n+2)(n-m+1)-(n-m+1)(m+n)}/2^{n+1}

={(2n+2)-(m+n)}(n-m+1)/2^{n+1}

=(n-m+1)(n-m+2)/2^{n+1}

この式の和の計算はn≧k≧mとして導かれたので，k≧n/2となるためには，m≧n/2であればよい．よって，

（☆）P(m)=(n-m+1)(n-m+2)/2^{n+1} (m≧n/2)

(1)5≧6/2，4≧6/2より

P(5)=(6-5+1)(6-5+2)/2^7=3/64
P(4)=(6-4+1)(6-4+2)/2^7=3/32

(2)n≧6より，n-3≧n/2だから，

P(n-3)=(n-(n-3)+1)(n-(n-3)+2)/2^{n+1}=5/2^{n-1}

(3)1≦k≦n/2より，n≧2で，n-k≧n/2（k=1,2,・・・,[n/2]）だから

P(n-k)=(n-(n-k)+1)(n-(n-k)+2)/2^{n+1}=(k+1)(k+2)/2^{n+1}

回答No.2

ereserve67

ANo.1です．すいません．誤りでした．回答を撤回します．

回答No.1

ereserve67

P(m)を求めてしまうと挙に解決します．

n回投げるうち表がちょうどk回連続する確率をp_kとすると，

P(m)=Σ_{k=m}^np_k

となります．

ｌ回目からl+k-1回目が表がでる確率は(1/2)^nです．1≦l，l+k-1≦nより1≦l≦n-k+1であるから，

p_k=(n-k+1)(1/2)^n=(n+1)/2^n-k/2^n

∴P(m)=Σ_{k=m}^n{(n+1)/2^n-k/2^n}

=(n+1)/2^nΣ_{k=m}^n1-(Σ_{k=m}^nk)/2^n

=(n+1)(n-m+1)/2^n-(1/2)(n-m+1)(m+n)/2^n

={(2n+2)(n-m+1)-(n-m+1)(m+n)}/2^{n+1}

={(2n+2)-(m+n)}(n-m+1)/2^{n+1}

=(n-m+1)(n-m+2)/2^{n+1}