二項定理

質問

(x+2)^20 を展開したときのx^rの係数をf(r)とする。

(1) 0≦r≦19 のとき
等式f(r+1)-f(r)=〔20!・2^(19-r)/(20-r)!(r+1)!〕×g(r)
を満たすg(r)を求めよ。

(2)(1)を利用してf(r)を最大にするrの値を求めよ

教えてください(:_;)

回答No.1

naniwacchi

まず、二項定理は理解されていますか？

＞(x+2)^20 を展開したときのx^rの係数をf(r)とする。
x^rの係数は、次のようにして与えられます。
20個の (x+2)から、r個については xを選び、残り 20- r個については 2を選びます。
このとき、xを選ぶ選び方は 20個から r個を選ぶので nＣrとおりとなります。
2が 20- r個選ばれていることを考慮すれば、x^rの項は

nＣr* 2^(20- r)* x^r

となります。

(1)は、f(r+ 1)- f(r)を上記から計算し、右辺の形にあうように変形します。

(2)ですが、まず x^rの係数はすべて正の値をとります。
最大値があるとすれば、どこかで増加と減少が入れ替わるはずです。
(1)の式はとなり同士の項について差をとっているので、その様子を知ることができます。
ということは、差について正負が入れ替わるところあたりに最大値が存在するはずです。

この考え方は、等差数列の和を考えるようなときにも使われる方法です。
放物線状のグラフを描いてみれば、よくわかると思います。