証明

質問

１+2分の１+3分の１....+ｎ分の１≧（ｎ+１）分の２ｎ
を証明せよ。（nは自然数のとき）
数学的帰納法を使う証明らしいのですが、答えをみてもよく計算の仕方がわかりません。
詳しい解説、解くに計算のところをお願いします。

回答No.4

looker1986

1/a→a分の1と読みかえます。
わかりにくければ、紙に写せばいいのです。

回答No.3

kkkk2222

>> (1/1)+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/n)≧[2n/(n+1)]

　　targetは、
[2k/(k+1)]+[1/(k+1]≧[2(k+1)/(k+2)]だから、
　　密かに、
[2k/(k+1)]+[1/(k+1)]-[2(k+1)/(k+2)]
　=[(2k+1)/(k+1)]-[(2k+2)/(k+2)]
　=[(2k+1)(k+2)-(2k+2)(k+1)]/(k+1)(k+2)
　=[ 2k^2+5k+2-2k^2-4k-2]/(k+1)(k+2)
　=[ k/(k+1)(k+2)]　と準備しておいて、
　　そ知らぬ顔をして、
　　[k/(k+1)(k+2)]を引いて、
　　形が整う。（数字合わせが上手く行く。）

n=1のとき、
　左辺=1,右辺=1 成立。と当然の事から出発して、

n=kのとき、
　(1/1)+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/k)≧[2k/(k+1)]
　が成立と仮定して、
　両辺に、[1/(k+1)]を加え、

(1/1)+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/k)+[1/(k+1)]
　≧[2k/(k+1)]+[1/(k+1]
　＝[(2k+1)/(k+1)]
　＝[(2k+1)(k+2)/(k+1)(k+2)]　と変形し、
　　準備しておいた、[k/(k+1)(k+2)]を引くと、
　　　　＞となるけれど、形が崩れるのを嫌い、
　　　　≧を使い、　　
　≧[(2k+1)(k+2)/(k+1)(k+2)]-[ k/(k+1)(k+2)]
　＝[(2k^2+5k+2)/(k+1)(k+2)]-[ k/(k+1)(k+2)]
　＝[(2k^2+4k+2)/(k+1)(k+2)]
　＝[2(k+1)(k+1)/(k+1)(k+2)]
　＝[2(k+1)/(k+2)]　と上手く辿りつき、

　n=k+1とき、成立。　と書いて、

　 約束通り、
よって、全てのnについて成立。　と書いて終了です。

投稿しようと思ったら、
>>分数のときは～分の～と。
補足が入っているけれど、
流石に無理な注文で、
慣れてもらうしかありません。

補足

[(2k+1)(k+2)/(k+1)(k+2)]　と変形し、
この変形の仕方がよくわかりません。
途中式をどのように変形したのかいいながら教えてください。

回答No.2

himajin100000

>この辺の計算がよくわかりません。

両辺に k + 1 分の 1　を加えたもの。当然大小関係は変わらないよね？

補足

何分の何って書かれてるのかが、よくわからないんです。
お願いですので、分数を何分の何としてくれないでしょうか？

回答No.1

himajin100000

１+2分の１+3分の１....+ｎ分の１≧（ｎ+１）分の２ｎ

以下数学的帰納法により題意が成立することを示す示す。

i)1>= 2/2 = 1より n = 1の時、題意を満たす

ii)n = kにおいて題意が満たされる，
つまり
1+1/2+1/3....+1/k≧2k/(k+1)
が成り立つと仮定する時
1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧2k/(k+1) + 1/(k+1)
1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧ (2k + 1)/(k+1)

ここで
(2k + 1)/(k + 1) - 2(k + 1)/(( k + 1) + 1)
= (2k + 1)/(k + 1) - 2(k + 1)/(k + 2)
= ((k + 2)(2k + 1) - 2(k + 1)(k + 1) )/((k + 2)(k + 1))
= ((2k^2 + 5k + 2) - (2k^2 + 4k + 2) )/ ((k + 2)(k + 1))
= k / ((k + 2)(k + 1))

仮定よりk > 0で
k / ((k + 2)(k + 1)) > 0
だから
(2k + 1)/(k + 1) - 2(k + 1)/(( k + 1) + 1) > 0
で
(2k + 1)/(k + 1) > 2(k + 1)/(( k + 1) + 1)

したがって

1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧ (2k + 1)/(k + 1 ) > 2(k + 1)/(( k + 1) + 1)

k + 1の時も満たされる。

i) ii)より数学的帰納法より

n >= 1以上において題意は成立する

補足

1+1/2+1/3....+1/k + 1/(k+1)≧2k/(k+1) + 1/(k+1)
この辺の計算がよくわかりません。
後、分数のときは～分の～とやってくれるとありがたいです。