帰納法を使って！

質問

a1=1/3 a[n+1]=1/2-a[n](n≧１）で定められる数列の一般項anをｎであらわせ

という問題を解います、

帰納法で解けるらしいのですが、
その方法がわかりません。

答えは2n-1/2n+1

です。
解説お願いします！

回答No.6

naniwacchi

先の方々は、上手な置き方（x[n]、y[n]）で漸化式を解かれています。
問題文（小問題で順を追っていくような問題）で、帰納法を使うことが明示されているような場合には、
おおむね次のような順番での解答になります。

(1)漸化式を用いて、n=1,2,3ぐらいまでの値を計算します。
(2)(1)の結果から、一般項を推測します。
(3)その推測が正しいことを帰納法を用いて示します。

相当複雑な一般項でない限りは、n=3ぐらいまでで推測が立つと思います。

回答No.5

arrysthmia

＞ y[ ] が等比数列になりますから、y[0], y[1] の値から
＞ y[n] = 2n+1 です。

これは正に「的確でない」。

y[ ] が等差数列になりますから、y[0], y[1] の値から
y[n] = 2n+1 です。

…ですね。我ながら。

回答No.4

arrysthmia

←No.3
その物言いは、どうかなあ。
確かに括弧の足りない式は読みにくいし、時として
読みようがないこともあるけれど…
全ての質問者が、数式の記述に関して
ネット上のローカルルールに習熟している訳はないし、
それは、数学として本質的なことでもない。
逆切れはよして、質問者への礼儀についても考えようね。
「的確でない」というのは、
問題を a[n+1] = (1/2) - a[n] と解釈しておきながら、
答えが a[n] = 2n-(1/2)n+1 だと
思ってしまうようなことを指して言うのだ。

さて、No.1 の方は、どうやら
帰納法を使う問題だと考えることにしたようなので、
私は、No.2 の続きで解いてみましょう。

y[n+1] = 2 y[n] - y[n-1]　(n≧1),
y[0] = 1,
y[1] = 3.
を解くには、漸化式を特性方程式に変換して、
λ^2 = 2 λ - 1 を解きます。解 λ = 1 (重解) を使って
z[n] = y[n] - λ y[n-1] を考えると、
漸化式は z[n+1] = z[n] となって、
y[n] - y[n-1] = 2 (定数) と判ります。
y[ ] が等比数列になりますから、y[0], y[1] の値から
y[n] = 2n+1 です。
後は、No.2 に書いた関係式から、a[n] = (2n-1)/(2n+1)。

基本的な漸化式の取り扱いを抑えておけば、
ヤマカンで解を見つけて帰納法で証明するよりも
確実に解くことができるのです。

回答No.3

info22

#1です。
回答しても何も応答ないですね。
#2さんの指摘されるように問題の書き方が回答者に正確に伝わらない
書き方をされていますので、的確な回答ができないです。
答えからすると
正しい問題の式は
a1=1/3,
a[n+1]=1/(2-a[n])(n≧１）
のようですね。

そうだとすればA#1の回答は
a[n+1]=(1/2)-a[n](n≧１）
なので、回答としては当てはまりませんので無視して下さい。

問題のタイトルに
「帰納法を使って！」
とありますが、これは結論、つまり、
a[n]=(2n-1)/(2n+1)　…(■)
がわかっている場合の証明をするということになりますが
その方針での回答で良いですか？

そうであれば
１）n=1のとき
a[1]=(2-1)/(2+1)=1/3
で成立
２）n=k(k≧1)で成立するとすれば
a[k]=(2k-1)/(2k+1)　…（●）
このとき
a[k+1]=1/(2-a[k])　←(●)を代入
=1/[2-{(2k-1)/(2k+1)}]
=(2k+1)/{2(2k+1)-(2k-1)}
=(2k+1)/(2k+3)
={2(k+1)-1}/{2(k+1)+1}
ゆえに　n=k+1　でも成立する。
１）と２）から　n≧1で(■)が成立する。
というのが数学的帰納法による証明でしょうね。

お礼

説明不足で
申し訳ありませんでした

回答者さんの
おっしゃる通りです

詳しい説明を
ありがとうございました(^O^)

回答No.2

arrysthmia

答えが a[n] = (2n-1)/(2n+1) ってことは、
漸化式は a[n+1] = 1/(2-a[n]) ですね？
ちゃんと括弧をつけないと、誤解の基ですよ。

x[n+1] = y[n],
y[n+1] = 2 y[n] - x[n].
と、置いて御覧なさい。
a[n] = x[n] / y[n] となります。

上の式を使って、下の式から x[ ] を消すと、
y[ ] だけの漸化式になりますね？
この後どうすればよいか解らなければ、
「線型漸化式」または「三項間漸化式」を
教科書またはネットで検索！

回答No.1

info22

帰納法は証明に使います。
質問では帰納法は使いません。
漸化式を使います。
b[n]=a[n]-a[n-1](n≧2)
とおくと
b[n]+b[n-1}+ ... +b[2]=(1/2)(n-1)
=a[n]+a[1]　(n≧2)
途中のa[j]は打ち消した最初の項と最後の項だけが残ります。

この式からa[n]が出てくるでしょう？
お分かり？