この簡単そうに見えて難しい問題教えて下さい

質問

この問題論理的にわかりません。
a>1とするとき、２次方程式ax^2+(4a+1)x+a^2>0のすべての整数ｘについて成り立つようにaの値の範囲を定めよ。

まずすべての実数で成り立つようなのを考えて最小値＞０
そしてa>1の範囲をその後、考慮すればいいんだと僕は思ったのですが、そのやり方では解けなさそうでしたがなぜですか？？

ｘの範囲で限定されているのであれば、その区間より上にあればよいで成り立つの考えればいいのですが、このようにaの範囲で絞られている場合はどのように考えて解けばいいのでしょうか？？

以上この２点を踏まえて論理的に教えて下さい。お願いします

回答No.6

at9_am

多分、式変形で平方完成しようとしたのだと思いますが、それであればちょっと大変です。

まず、頂点のｘ座標を求めれば
f(x)'= ax+(4a+1)=0
a = 4 + 1/a
となることがわかります。したがって、0<1/a<1ですから、xは4と5の間で最小値をとることがわかります。

グラフから考えれば、
f(x)=ax^2+(4a+1)x+a^2
がx=4とx=5でプラスであれば、すべての整数についてax^2+(4a+1)x+a^2>0が成り立ちますので、f(4)>0かつf(5)>0を考えれば解けると思います。

もし問題が「すべての実数x」であれば、もう少し簡単に判別式で実数解をもたない場合を考えればいけます。

> まずすべての実数で成り立つような...解けなさそうでしたがなぜですか？？

たとえばx=4.5で成り立たなくとも、x=4およびx=5で成り立てば問題はないからです。

> なぜa>1だからといってそのように２点と交わるような２次関数が想像できるのかわかりません。

＃３の方のあげた図のように、必ずしも二つの実数解をもつわけではありません（であればこの問題の答えは「解なし」です）。下に凸（つまり上に広がった形）のグラフになる、ということが重要なのです。

回答No.5

naniwacchi

#2です。
#3さんへの補足を見ました。

＞なぜa>1だからといってそのように２点と交わるような２次関数が想像できるのかわかりません。
「a>1だから」図がでているのではないと思います。
「すべての整数に対して成り立つ」ということから想像できる内容です。

aの値が変化すると、おおまかには図のようにグラフが移動していきます。
真ん中のグラフになると、#3さんの描かれているように整数が含まれない場合がでてきます。

「a>1」は、最初に質問者さんが書かれているように「後付け」の条件になります。

回答No.4

gohtraw

＃３さんの図がいいヒントになっていますね。
　頂点のｘ座標がａを含む形で求められ、それにａ＞１を適用すると
ｎ＜頂点のｘ座標＜ｎ＋１　（ｎは整数）
であることが判るので、ｘ＝ｎの時、およびｘ＝ｎ＋１のときに与式＞０になるａの範囲を求めればいいと思います。

回答No.3

banakona

例えば、2次関数ｆ（ｘ）が下図のようになっていると、ある実数ではｆ（ｘ）＜０となっているのに、全ての整数でｆ（ｘ）＞０となっています。だから

＞まずすべての実数で成り立つようなのを考えて最小値＞０
＞そしてa>1の範囲をその後、考慮すればいいんだと・・・

は残念ながら間違いです。

補足

確かに図から考えるとそうかもしれませんが、なぜa>1だからといってそのように２点と交わるような２次関数が想像できるのかわかりません。
また、僕は馬鹿なのでやはりその説明ですと後からaの範囲を絞ってもいいんじゃないかと思ってしまいます。教えて下さい。

回答No.2

naniwacchi

問題文に「ひっかけ」というかポイントがありますね。

「すべての整数 xについて」ということですから、
最小値が０より小さくても、その xの範囲が整数を含まなければ題意は満たされます。
場合分けとして、その部分も考慮が必要だと思います。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

とりあえず、
たとえば、(x-0.2)(x-0.8)>0 は全ての整数について成り立ちます。