断面二次モーメントを積分で

質問

一辺の長さがaの□と◇の図心を通る断面二次モーメントはどちらもa^4/12ですが
これを積分で導きたいのですが解法を教えていただけませんでしょうか？
積分は今勉強中で解法を見ればわかると思うレベルです。

回答No.1

felicior · ベストアンサー

公式自体は理解されているのでしょうか。
両者とも上下対称な図形なので上半分で計算して２倍します。

□の場合
軸からの距離をyとするとその変域は0≦y≦a/2
距離yにおける断面の長さはa
よって距離yにおける微小な幅dyの面積はa*dy
Iy/2＝∫(y^2)ady
＝a∫(y^2)dy
＝a*{(a/2)^3}/3
＝(a^4)/24
∴Iy＝(a^4)/12

◇の場合
軸からの距離をyとするとその変域は0≦y≦a/√2
距離yにおける断面の長さは2{y－a/√2}
よって距離yにおける微小な幅dyの面積は2{y－a/√2}*dy
Iy/2＝∫(y^2)*2{y－a/√2}dy
＝2∫(y^3)dy－(a/√2)∫(y^2)dy
＝2*{(a/√2)^4}/4－(a/√2)*{(a/√2)^3}/3
＝(2/4－1/3)*(a/√2)^4
＝(a^4)/24
∴Iy＝(a^4)/12

お礼

ありがとうございました。
りかいできました。

補足

ありがとうございます
公式は理解しているつもりですが
数学的な応用が・・・

◇の方がイマイチ理解できなくて
もう少し自分なりに解析？してみます。
どうしても駄目ならSOSします＾＾；