期待値

質問

二項分布でのXの三乗の期待値が知りたいです。お願いします。

回答No.1

rabbit_cat

直接計算してもたいした手間じゃないけど、モーメント母関数を求めるほうが楽かな。

M(t) = E(exp(tX)) = Σ_{k=1→n} e^tk nCk×p^k×(1-p)^(n-k)
　= Σ_{k=1→n} nCk×(p×e^t)^k×(1-p)^(n-k)
　= (p×e^t + 1-p)^n
E(X^3) = M'''(0) = np + 3np^2(n^1) + (n-2)(n-1)np^3

直接求める場合は恒等式
(p+q)^n = Σ_{k=1→n} nCk×p^k×q^(n-k)
について
両辺をpで微分して、その後、両辺にpをかける
っていう操作を３回繰り返したあと、q=1-p を代入すればよい。