最大値の期待値が元の数の期待値を上回る証明

質問

x1，x2は正規分布しているとします．

z＝max（x1，x2）

と，いずれかの最大値を選択するとします．
（x1から２つサンプリングしてもいいのですが・・・）

このとき，それぞれの期待値について次の関係，

E(z)＞＝E(x1)
E(z)＞＝E(x2)

が成立することを証明せよ．という問題を教えて下さい．

ガンマ関数とか使う解法はネットで見つけたのですが，
図形的とか，わかりやすい証明はできないでしょうか?

回答No.4

noname#99365 · ベストアンサー

何度もごめんなさい。期待値の単調性が使えるなら、z≧x1から直接
E[z]≧E[x1]
が導けてしまいますね・・・。ですから、No.3での証明はとても変でした。

No.1で意図していたのは、「常に非負の値をとる確率変数の期待値は非負になる」ことから
E[z-x1]≧0
を得て、期待値の線型性から、左辺が
E[z]-E[x1]
となって、結局
E[z]≧E[x1]
となることがわかるというものでした。すみません。

お礼

どうもありがとうございました．
とてもよくわかりました．

回答No.3

noname#99365

z-x1≧0 という関係はいいですよね、小さくないほうをとっているので。2つの確率変数 z-x1 と 0 に対して、参考URLにある期待値の性質の単調性を用いると、
E[z-x1]≧E[0]
が導けます。左辺に、線型性を適用すると、
E[z-x1]=E[z]-E[x1]
になります。右辺は、
E[0]=0
です。なので、
E[z]-E[x1]≧0
となりますよね。もし、kamiyasiroさんが望むものでなかったら、ごめんなさい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4#.E6.80.A7.E8.B3.AA

回答No.2

noname#99365

期待値の単調性も使いますね。ごめんなさい。

お礼

ご回答ありがとうございます．
しかし，書いて頂いた語数が少なく，
私には何のことかさっぱりわかりません．

もう少し具体的にご説明頂けないでしょうか?
お願いします．

回答No.1

noname#99365

z-x1≧0, z-x2≧0 と期待値の線型性を利用してみてはどうでしょうか。