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逆数の期待値について
簡単な問題かもしれませんが、思いつかないので教えて下さい。正規分布N(μ,σ)に従う確率変数Xの逆数1/Xの期待値E[1/X]が分かりません。宜しくお願いします。
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>クローズドフォームで表わすことは難しいでしょうか？ 解析的には無理でしょうね。 結局、∫[a,b]exp(-x^2)/x dxを計算できれば十分なわけですが。 なんなら、Mathematicaで確かめてみましょうか?
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- keyguy
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1/Xの分布関数は∫（－∞＜（１／ｔ）＜ｘ）・ｐ（ｔ）・ｄｔと表せるのでしょうか？： そうです 確率変数Y=1/Xの分布関数F（ｘ）は確率変数Y=1/Xがｘ以下である確率を意味します そして分布関数はＦ’（ｘ）です １／ｘの期待値は∫（－∞＜ｘ＜∞）・ｑ（ｘ）・１／ｘ・ｄｘではないのでしょうか？： 違います 私も不注意でミスをしましたがこれははまりやすい落とし穴です ｑ（ｙ）は確率変数Ｙ＝１／Ｘの密度関数です だから１／Ｙの平均を取るとＸの期待値になってしまいます すなわち ∫（－∞＜ｘ＜∞）・ｑ（ｘ）・１／ｘ・ｄｘ＝ ∫（－∞＜ｘ＜∞）・ｐ（ｘ）・ｘ・ｄｘ です 納得できなければ痴漢積分で直接確かめる事ができます なおｐ（ｘ）が正規分布の密度関数のときに積分は発散しますがｐ（ｘ）如何では求まるでしょう Ｎ（０，１）のときに ｑ（ｘ）＝ｐ（１／ｘ）／ｘ＾２ をみれば分かるように１／Ｘの分布を見てみるとお尻のようになっていますね
お礼
丁寧なご返答ありがとうございました。後段の部分は統計数理の参考書でも確認できました。参考になりました。
明らかに存在しません。 x～0の近辺で積分がどうなるか考えてみましょう。
補足
説明が不十分でした。Ｘ＞０で、知りたいのはλからmまでの区間積分による期待値です。クローズドフォームで表わすことは難しいでしょうか？
- keyguy
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すいません ほとんど考えずに回答したので嘘書いていました 正規分布の密度関数をｐ（ｘ）とすれば ∫（－∞＜（１／ｔ）＜ｘ）・ｐ（ｔ）・ｄｔ をｘで微分すれば１／ｘの密度関数がでる それをｑ（ｘ）とすると１／ｘの期待値は ∫（－∞＜ｘ＜∞）・ｑ（ｘ）・ｘ・ｄｘ となる すなわちｑ（ｘ）は既に逆数の密度なので通常の平均をとる計算と同じになります 上の計算をすると ｑ（ｘ）＝ｐ（１／ｘ）／ｘ＾２ となり 期待値は ∫（－∞＜ｘ＜∞）・ｐ（ｘ）／ｘ・ｄｘ となります 逆数も多項式と同じように期待値を計算できるというもっともらしい結果を導く事ができます
補足
さっそく回答ありがとうございます。勉強不足で十分理解できない所があり恐縮なのですが、Xが正規分布に従うとき、1/Xの分布関数は∫（－∞＜（１／ｔ）＜ｘ）・ｐ（ｔ）・ｄｔと表せるのでしょうか？また１／ｘの期待値は∫（－∞＜ｘ＜∞）・ｑ（ｘ）・１／ｘ・ｄｘではないのでしょうか？宜しくご教授下さい。
- keyguy
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正規分布の密度関数をｐ（ｘ）とすれば ∫（－∞＜（１／ｔ）＜ｘ）・ｐ（ｔ）・ｄｔ をｘで微分すれば１／ｘの密度関数がでる それをｑ（ｘ）とすると１／ｘの期待値は ∫（－∞＜ｘ＜∞）ｑ（ｘ）／ｘ・ｄｘ となる ヘビサイド関数とδ関数の関係を知っていれば形式的に出ますが・・・
お礼
ありがとうございました。期待値は外性的に与えてやり、パラメーターを推定したかったので、解析解が分かればと思ったのですが、数値積分で計算する方法しかなさそうですね。